Convergence uniforme

Amathoué
Amathoué
dans Analyse
Bonsoir à tous,

Je ne saisis pas le passage $|R_n(x)| \leq |f_{n+1}(x)|$ où $f_n : x \mapsto \frac{(-1)^n}{x+n}$ est définie sur $\R+$ et $n \geq 1$ et $R_n$ reste partiel d'ordre $n$ de la série de fonctions de TG $f_n$. J'ai trouvé ceci dans un cours. Merci!

Réponses

  • Dom
    Dom
    C'est la majoration connue pour les séries alternées.
    "Le reste est majoré par le dernier terme négligé" (phrase qui fait savante mais qu'on ne comprend que quand on fait la preuve).

    Sans savoir ce qu'elle vaut je donne une source ici : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_14.html
  • Amathoué
    Amathoué
    D'accord, merci Dom!!
  • Amathoué
    Amathoué
    Toujours dans la convergence uniforme mais une autre question:

    On pose $g(x)=-\sum_{k \geq 0} f(x+k)$ pour tout $x$ réel avec $f$ continue décroissante positive telle que $\int_{0}^{+\infty} f(s)ds$ converge. On demande de montrer que $g$ est continue et que sa limite est $0$ en $+\infty$ (après avoir montré précédemment que la série de fonctions $g$ convergeait simplement).
    Quel est l'intérêt de passer par la convergence simple? En effet n'a-t-on pas pour tout $x$ réel positif :
    $|f(x+k)| \leq f(k)$ (hypothèses sur $f$). La série de TG $f(k)$ converge (comparaison somme intégrale car $f$ positive décroissante) donc $\lim_{k \to +\infty} f(k)=0$ d'une part et la série de fonctions $g$ converge uniformément d'autre part. Donc on peut intervertir somme et limite dans la définition de $g$ , qui a alors une limite nulle en $+\infty$ ?
    Et pour la continuité, je ne vois vraiment pas comment faire uniquement avec la CS. Avec la CU , la continuité de $f$ permet de conclure.
  • Dom
    Dom
    Les experts donneront un avis plus riche, peut-être : cela ne me choque pas qu'on montre d'abord la convergence simple de $\sum_{k \geq 0} f(x+k)$. Cela pourrait être demandé autrement : montrer que la série (numérique) converge quelle que soit la valeur de $x$.
    C'est juste un façon de dire "puisqu'on va étudier $g$ on va d'abord montrer que $g$ est bien définie.

    Autrement dit : Pour parler de la convergence uniforme, on a déjà besoin que ça converge simplement (dans la définition d'ailleurs qui demande que ($sup(|f_n - f|)$) converge vers 0.

    En effet la CS ne suffit pas.

    Je n'ai pas creusé plus loin.

    En général on regarde dans l'ordre : la convergence simple, puis la convergence uniforme (même si les propriétés "vont dans l'autre sens").
    Ça me fait penser à l'étude de la dérivabilité d'une fonction. Souvent on commence par montrer qu'elle est continue, puis on essaye de démontrer qu'elle est dérivable (même si une fonction dérivable est continue).
  • Dom
    Dom
    Une remarque : ceci est vrai dans ton raisonnement $\lim_{k \to +\infty} f(k)=0$ et même si cela paraît évident il faut remarquer quand même que c'est une limite "discrète" (pour les k entiers) et que ça n'entraîne pas en général que $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$ où $x$ est réel. Évidemment, ici, "ça marche" mais je pense qu'il faut préciser pourquoi.

    Remarque : En prenant la majoration $|f(x+k)| \leq f(k)$ tu passes même par de la convergence normale.
  • Amathoué
    Amathoué
    merci Dom, oui je me suis posé la question de la limite discrète :-).
    En fait je pense qu'il suffit d'utiliser un argument archimédien , je suis en train d'y travailler :-)
  • Dom
    Dom
    Il y a plus simple. Cela dépend de la fonction. Il suffit d'utiliser ses propriétés.
    Un argument archimédien selon moi ne marche pas (des fonctions s'annulant sur tous les entiers et n'admettant pas de limite en l'infini existent - penser à des pics de plus en plus fin).

    Éventuellent de densité, mais ça donnerait une fonction nulle à parti d'un certain "rang".
  • Amathoué
    Amathoué
    Oui merci :-)
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