En 0, peut-être est-il commode de connaitre une primitive de la fonction $ln$ sur l'intervalle en question (sinon, la déterminer par une intégration par partie).
Si on demande de montrer que $\displaystyle x \mapsto {\ln(x) \over 1-x}$ est intégrable sur $\displaystyle I = ]0, 1[$, alors j'écris que la fonction en question est définie sur $I$ (car elle est définie sur $\R_+^* - \{1\}$) et est continue sur $I$ (comme produit de fonctions continues), et donc cette fonction est intégrable sur $I$ ouvert seulement si elle est intégrable près des bornes $0$ et $1$. En $0$ elle se comporte comme $\ln(x)$ dont une intégrale est $x\ln(x) \longrightarrow 0$ et on peut la prolonger par continuité en $1$.
Réponses
Bon, en $x=1$, on peut prolonger la fonction par continuité car : $$\lim_{x\to 1}\frac{ln(x)}{1-x}=-1$$
PS : Merci AD pour la typographie, ça me permet de découvrir davantage sur les différentes commandes !
[À ton service. :-) AD]
Si on demande de montrer que $\displaystyle x \mapsto {\ln(x) \over 1-x}$ est intégrable sur $\displaystyle I = ]0, 1[$, alors j'écris que la fonction en question est définie sur $I$ (car elle est définie sur $\R_+^* - \{1\}$) et est continue sur $I$ (comme produit de fonctions continues), et donc cette fonction est intégrable sur $I$ ouvert seulement si elle est intégrable près des bornes $0$ et $1$. En $0$ elle se comporte comme $\ln(x)$ dont une intégrale est $x\ln(x) \longrightarrow 0$ et on peut la prolonger par continuité en $1$.
Je vois le problème. J'ai (encore) confondu intervalle fermé et ouvert. Merci de m'avoir corrigé. J'ai modifié ...