Vérification d'un calcul

Zakariyae · November 2015

Bonjour à tous
Je voudrais savoir est ce que mes calculs sont justes
\begin{align}
\left( \frac{1}{\sinh(t)}\frac{d }{dt} \right)^n \left( e^{z t} \right) &= \left(\frac{1}{\sinh(t)}\right)^n \left(\frac{d }{dt} \right)^n \left( e^{z t} \right) \\
&= \frac{1}{\sinh^n(t)} \left(\frac{d}{dt} \right)^n \left( e^{z t} \right) \\
&= \frac{1}{\sinh^n(t)} z^n e^{n z t} \\
&= \frac{z^n }{\sinh^n(t)} e^{n z t} .
\end{align}
Merci d'avance

remarque · November 2015

Il est faux pour $n=0$, juste pour $n=1$ (coup de chance) et faux pour tout $n\ge 2$.

Zakariyae · November 2015

Bonjour, donc

$$ \left( \frac{1}{\sinh(t)}\frac{d }{dt} \right)^n \left( e^{z t} \right)= \frac{z^n }{\sinh^n(t)} e^{ z t} .$$

remarque · November 2015

Alors maintenant, c'est également juste pour $n=0$, mais toujours pas pour $n\ge 2$. La seule interprétation raisonnable de la puissance $n$ème ici est la composition de l'opérateur par lui-même $n$ fois. Ce qui pour $n=2$ donne
$$\left( \frac{1}{\sinh(t)}\frac{d }{dt} \right)^2 \left( e^{z t} \right)= \frac{1}{\sinh(t)} \frac{d }{dt} \left( \left( \frac{1}{\sinh(t)}\frac{d }{dt} \right) \left( e^{z t}\right) \right) .$$

Zakariyae · November 2015

Ah bon donc c'est la composition, car je sais que $$\left(\frac{d}{dt} \right)^n \neq \frac{d ^n }{dt^n} $$
On peut prendre par exemple $n=2$ et $f(t) = t^2$, alors $\left(\frac{d}{dt} \right)^2 ( t^2) = \left(\frac{d ( t^2) }{dt} \right) \left(\frac{d ( t^2)}{dt} \right) = 4t^2$, cependant $\frac{d ^2 (t^2)}{dt^2} =2$.

remarque · November 2015

:-S:-S:-S:-S

Dom · November 2015

J'ai dû faire la même tête....

zorg69 · November 2015

Zakaryae, essaie de traiter les cas $n=0$,$n=1$ et $n=2$ puis de faire une récurrence.

YvesM · November 2015

Bonjour @Zakariyae,

Il faut comprendre les notations sinon on fait n'importe quoi. Comme $\displaystyle \frac{d}{dt}$ est un opérateur, sa puissance note la composition. Ainsi, $\displaystyle \Big(\frac{d}{dt}\Big)^1 = \frac{d}{dt}$, n'est-ce pas ?

Un peu plus dur :
$\displaystyle \Big(\frac{d}{dt}\Big)^2 = \frac{d}{dt} \circ \frac{d}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}) = \frac{d^2}{dt^2}$, non ?
Donc $\displaystyle \Big(\frac{d}{dt}\Big)^2 t^2 = \frac{d^2}{dt^2} t^2 = 2.$

Pour revenir à la choucroute :
$\displaystyle \Big(\frac{1}{\sinh t}\frac{d}{dt}\Big)^2 = \frac{1}{\sinh t}\frac{d}{dt} \circ \frac{1}{\sinh t}\frac{d}{dt} = \frac{1}{\sinh t}\frac{d}{dt} \Big(\frac{1}{\sinh t}\frac{d}{dt}\Big).$

Commence par calculer pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$. L'envie de calculer pour $n=3$ devrait disparaître à ce moment là... toutes les expressions mathématiques n'ont pas une forme simple.

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