1/x : intégrabilité locale
Bonjour,
Partant de la définition de l'intégrabilité locale, je ne vois pas comment conclure que la fonction inverse n'est pas localement intégrable.
Définition : si $\begin{array}{l|rcl}
f : & U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
& x & \longmapsto & f(x) \end{array}$ où U est un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$, f est localement intégrable si sa restriction à tout compact K de U est intégrable
Je n'ai pas de notion en topologie, alors je suis allé voir la définition de "compact de $\mathbb{R}^{n}$" et on lit que tout compact de $\mathbb{R}^{n}$ est un fermé borné.
Pour montrer la non intégrabilité locale de $x^{-1}$ définie sur $U=\mathbb{R}^{*}$, on considère classiquement l'intégrale de $x^{-1}$ sur $K= ]0,a] \subset U$, et l'on conclue facilement que cette intégrale diverge.
Ce qui me gène, c'est que $K= ]0,a]$ n'est pas un intervalle fermé, donc pas un compact de $\mathbb{R}^{*}$.
D'où ma question, pourquoi est-il pertinent de montrer la non intégrabilité locale de $x^{-1}$ on considérant sa somme sur un intervalle ouvert, donc pas un compact ?
Merci par avance pour votre aide.
Partant de la définition de l'intégrabilité locale, je ne vois pas comment conclure que la fonction inverse n'est pas localement intégrable.
Définition : si $\begin{array}{l|rcl}
f : & U & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
& x & \longmapsto & f(x) \end{array}$ où U est un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$, f est localement intégrable si sa restriction à tout compact K de U est intégrable
Je n'ai pas de notion en topologie, alors je suis allé voir la définition de "compact de $\mathbb{R}^{n}$" et on lit que tout compact de $\mathbb{R}^{n}$ est un fermé borné.
Pour montrer la non intégrabilité locale de $x^{-1}$ définie sur $U=\mathbb{R}^{*}$, on considère classiquement l'intégrale de $x^{-1}$ sur $K= ]0,a] \subset U$, et l'on conclue facilement que cette intégrale diverge.
Ce qui me gène, c'est que $K= ]0,a]$ n'est pas un intervalle fermé, donc pas un compact de $\mathbb{R}^{*}$.
D'où ma question, pourquoi est-il pertinent de montrer la non intégrabilité locale de $x^{-1}$ on considérant sa somme sur un intervalle ouvert, donc pas un compact ?
Merci par avance pour votre aide.
Réponses
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Bon, moi je ne suis pas tellement calé en intégration, mais on m'a toujours dit qu'une fonction $f$ définie sur une partie $D$ de $\R$ est localement intégrable sur $D$ si, quel que soit le segment $[a,b]\subset D$, l'intégrale $\int_{a}^{b}f(t)dt$ existe.
À ce compte-là, toute fonction continue sur $D$ est localement intégrable sur $D$, la fonction inverse comme une autre.
Bonne journée.
F. Ch. -
La fonction inverse est localement intégrable sur $\R^*_+$ en effet si on prend un intervalle compact dans cet ensemble il est de la forme $[a, b] $ avec $0 <a <b $ et la fonction inverse est bien intégrable là dessus !
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bonjour
la fonction inverse définie par $f(x) = \frac{1}{x}$ n'est pas intégrable sur un intervalle dont une borne est nulle
par exemple l'intégrale $I = \int_0^1\frac{dx}{x}$ n'existe pas (elle diverge sur la borne inférieure)
par contre sur un intervalle dont aucune borne n'est nulle elle est intégrable
y compris si l'intervalle d'intégration comprend zéro, par exemple sur l'intervalle $[-1 ; 2]$ :
$I = \int_{-1}^{2}\frac{dx}{x} = [ln|x|]$ à calculer sur $-1$ à $2$ soit
ln2 - ln1 + limite de ln|x| lorsque x tend vers (-1) - limite de ln|x| lorsque x tend vers (1) soit encore :
ln2 + limite de $ln|\frac{x}{x}|$ lorsque x tend vers 0 soit un résultat d'intégration égal à $ln2$
les divergences de la fonction inverse autour de zéro sont compensées exactement dans l'intégration
cordialement -
C'est ce qu'on appelle la compensation de divergence. Au prochain chapitre, vous aurez le droit à la convergence explosive :-D
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Jean lismonde veut parler de convergence au sens des distributions (valeur principale de 1/x, mais ça, il ne le dit pasB-)-
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@sylwa37 : la définition de l'intégrabilité locale utilise des compacts. Si on veut savoir si une fonction donnée satisfait ou pas cette définition, il faut donc prendre des compacts. Or un compact de $\R^*$ ne s'approche pas de $0$ : il y a un intervalle centré en $0$ dans son complémentaire. Donc, la fonction $x\mapsto \frac1x$ est bien localement intégrable sur $\R^*$. Elle ne l'est pas sur $\R$, parce qu'il y a des compacts de $\R$ qui contiennent $0$ et sur un tel compact $K$, $\int_K\frac1{|x|}\,dx=+\infty$.
@les autres : attention au passage dans le forum stham ! :-D -
Merci à tous pour vos réactions.
@Chaurien : d'après ton raisonnement, comme l'intégrale $I= \int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ sur tout compact $D=[a,b] \subset \mathbb{R}$ dont une borne est nulle n'est pas définie, alors $\frac{1}{x}$ n'est pas localement sommable sur $\mathbb{R}$. En revanche, toujours en vertu de ton raisonnement, $\frac{1}{x}$ est localement sommable sur $\mathbb{R}^{*}$.
@héhéhé : ce qui m'ennuie avec ce raisonnement, c'est que si je prends le compact $K = [a_n=\frac{1}{n}, b] \subset \mathbb{R}^{*}$ avec $n \in \mathbb{N}^{*}$, alors $\underset{n\to+\infty}{lim} \int_{a_n}^{b}\frac{1}{x}dx$ n'existe pas. J'en conclus la non intégrabilité locale sur $\mathbb{R}^{*}$.
@ Jean lismonde : désolé, je ne comprends pas ton raisonnement. -
Ton erreur est de prendre une famille de compacts et non pas un seul.* Relis la définition, on n'y prend aucune limite.
* C'est mal dit : on doit considérer tous les compacts, mais on n'en regarde qu'un seul à la fois. -
L'intégrabilité locale se fait sur un compact fixé, si tu prends des limites c'est sûr que ca ne va plus être vrai. C'est comme si tu me disais que $1/n$ peut être égal à 0 parce que $1/n \to 0$ !
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Merci remarque pour cette opposition.
Par ailleurs, je me rends compte qu'en considérant l'intervalle $K_\infty = \underset{n\to+\infty}{lim} [a_n=\frac{1}{n}, b] = [0, b]$, je considère un compact qui n'est plus dans $\mathbb{R}^{*}$.... -
Bonjour,
Finalement, sur quelle partie de $\R$ cherches-tu à montrer que la fonction $1/x$ n'est pas localement intégrable ?
Ce qui est vrai, c'est qu'elle n'est pas intégrable sur tout voisinage de $0$ dans $\R$ (en attribuant une valeur quelconque à ta fonction pour $0$), ou qu'elle ne peut s'étendre en une fonction localement intégrable sur $\R$, ou bien qu'elle n'est pas intégrable sur tout intervalle $]0,a[$ ou $]-a,0[$ avec $a>0$.
À comparer avec $z\mapsto 1/z$ qui est intégrable sur tout voisinage de $0$ dans $\C$. -
Bonjour Philippe,
l'origine de ma question était de comprendre la définition d'une fonction localement intégrable.
Donc savoir répondre à la question : soit une fonction f, définie dans son intervalle de définition D, alors est-ce que f est localement intégrable ?
Et plus spécifiquement, c'est en me posant la question pour la fonction $\frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^{*}$ que je suis resté bloqué car je ne savais pas comment sonder l'intégrabilité dans le compact [a, b] avec 0<a<b.
Mon premier réflexe a été de passer à la limite en considérant : $I = \underset{a\to0^{+}}{lim} \int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$
Je concluai alors que $I$ n'était pas défini et que donc $\frac{1}{x}$ n'était pas localement intégrable sur $\mathbb{R}^{*}$.
Grâce à l'aide des matheux qui m'ont gentilment répondu, j'arrive maintenant à la conclusion que ma méthode est fausse et qu'il ne faut pas considérer l'intervalle limite $I_{0^{+}} = \underset{a\to0^{+}}{lim}[a,b]$ mais plutôt prendre les invervalles [a,b] un à un et constater que pour tout $a>0$, l'intégrale $I= \int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx$ est définie et que donc $\frac{1}{x}$ est localement intégrable sur son intervalle de définition $\mathbb{R}^{*}$.
Voilà, j'espère avoir été clair et que ma conclusion montre que j'ai compris vos remarques !
Merci encore pour votre aide. -
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