KH-intégrale
dans Analyse
Bonjour,
D'après vous, l'intégrale de Henstock remplacera-t-elle un jour celle de Lebesgue ? Ou bien y a-t-il des domaines où celle de Lebesgue reste incontournable ?
Merci.
Cordialement.
Jean-Louis.
D'après vous, l'intégrale de Henstock remplacera-t-elle un jour celle de Lebesgue ? Ou bien y a-t-il des domaines où celle de Lebesgue reste incontournable ?
Merci.
Cordialement.
Jean-Louis.
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Réponses
L'intégrale de Lebesgue est une brique des maths depuis 1920 environ, l'analyse moderne ne peut pas s'en passer. D'ailleurs la généralistion par Denjoy reste peu connu (moins que cela en fait).
Et merci de ta première réponse.
Amicalement.
Jean-Louis.
Il me semble que toute personne qui fait des maths s'interroge un jour sur les aires et tente de les approcher par des rectangles. Puis encadre une aire sous la courbe d'une fonction par des rectangles "plus grands" et des rectangles "plus petits".
En ce sens, elle est incontournable.
Évidemment, n'étant pas très souple pour les problèmes modernes, on passe ensuite à une théorie avec moins de défauts.
Il y a un livre qui étudie les relations entre diverses intégrales, c'est : Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, AMS 1994 (le Tchèque Kurzweil est passé à la trappe dans ce titre). La KH-intégrale ne s'applique pas seulement à $\R$ mais aussi à $\R^n$.
Il y a eu et il y a peut-être encore des enseignements de cette intégrale, comme Jean Mahwin en Wallonie. Jean-PierreDemailly (Grenoble) a aussi attiré l'attention sur l'intérêt de cette intégrale.
Il y a aussi un bon livre récent qui présente l'état de la question : Jean-Yves Briend, Petit traité d'intégration, Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock, EDP Sciences, 2014.
Bonne soirée.
RC
Puis après les rectangles on passe aux trapèzes et plein d'autres méthodes de calculs...
Je ne vois pas ce qui géne à généraliser rapidement. De plus l'exposé est bien plus économe qu'avec Riemann.
Les intégrales généralisées (au sens de Riemann) sont déjà une abération même si elles sont justifiées historiquement.
Dans ma réponse précédente, je pensais surtout à remplacer l'enseignement de l'intégrale de Riemann par celle de HK, je me limite vue la place indétronnable de l'intégrale de Lebesgue à partir du L3.
Bonne soirée.
Jean-Louis.
Soit $f:[a,b] \to \mathbb R$ une fonction dérivable. Alors $f'$ est KH-intégrable et $\int_a^b f'(t) dt =f(b)-f(a)$.
Ce théorème est faux pour l'intégrale de Lebesgue et sert à construire des fonctions KH non intégrables pour la mesure de Lebesgue.
> Soleil-Vert, pourquoi l'intégrale de Lebesgue est indétronable en L3 si KH est strictement "plus puissante"???
Parce que ce n'est pas vrai. L'intégrale de KH est limitée* à $\R^n$ ou des parties de $\R^n$ (où elle intègre effectivement un peu plus de fonctions que l'intégrale de Lebesgue). Ce n'est pas suffisant, on a besoin d'aller plus loin.
* J'ajoute : et à la mesure de Lebesgue !
C'est depuis 1988 que l'on n'enseigne plus aucune théorie d'intégration en prépa. Le professeur bricole une intégrale capable d'intégrer les fonctions continues par morceaux, mais il n'y a aucune notion d'intégrabilité sur un segment, au sens de Riemann ou autre. Bizarrement, l'intégrabilité a refait surface en 1996, mais sur les intervalles non compacts uniquement. Mystère des programmes... Ainsi, nos prépas arrivent à Bac+2 sans aucune notion d'intégrabilité, ce qui pour moi est scandaleux.
Un argument pour abandonner l'intégrale de Riemann était le suivant. Les étudiants passaient du temps à étudier l'intégrale de Riemann, et une fois celle-ci maîtrisée, il fallait revenir à zéro pour étudier l'intégrale de Lebesgue. Toujours entier dans ses opinions, le grand mathématicien Jean Dieudonné affirmait il y a quarante ans que l'intégrale de Riemann était "un exercice moyennement intéressant de la théorie de la mesure" et préconisait d'en abandonner l'étude. De nos jours les spécialistes semblent avoir un point de vue plus nuancé, voir par exemple un texte très intéressant de Hervé Quéffelec de 2012
<http://smf4.emath.fr/en/Publications/Gazette/2012/132/smf_gazette_132_47-60.pdf>
Et la KH-intégrale dans tout ça ? Je vais y revenir...
Bonne soirée.
F. Ch.
[small]Que sont mes amis devenus
Que j'avais de si près tenus
Et tant aimés ?
Ils ont été trop clairsemés
Je crois le vent les a ôtés[/small]
:-D c'est quand-même dommage, en conclusion d'un tel article, qu'il ne sache pas ou ne signale pas la consistance de "tout est mesurable" avec ZF. J'ai pas son mail, mais si quelqu'un pouvait l'en informer... (Pas la peine de dire d'où ça vient, je m'en fiche de ça)
Ce qu'il aurait fallu (mais ça n'a pas été fait), c'est faire un garrot ABSOLU entre le secondaire et le supérieur (ie ne pas changer le supérieur, et ce quoiqu'il arrive dans le secondaire: aux étudiants de s'adapter). Au lieu de ça on a devancé (même en prépa) la nullité de nouveaux étudiants (donc on ne leur a même pas laissé la chance de s'adapter).
Pourquoi cette intégrale qui suffit très largement aux besoins a-t-elle été abandonnée ?
C'est celle que Dieudonné introduit dans un premier temps dans son fameux livre bleu.
Qu'entends-tu par niveau. Fut un temps où les premiers mois de maths sup consistait à partir de ZERO. Donc aucune culture n'était supposée admise.
Je pense que les réformes du sup ont été faites en décrétant gratuitement que les étudiants ne s'adapteraient pas, et c'est un crime. Autrefois pas plus que maintenant la culture supplémentaire diffusée au lycée d'alors n'était supposée acquise: on définissait $\N,\Z,\Q,\R$ formellement. Je ne comprends pas en quoi la nullité culturelle consécutive à la disparition des maths du secondaire a autorisé les réformistes à supposer qu'avec ça, les maths supiens étaient devenus plus bêtes que leurs prédecesseurs.
Le premier intérêt de la KH-intégrale c'est qu'elle est, comme on a dit, strictement plus puissante que celle de Lebesgue, ce qui signifie qu'elle intègre des fonctions qui ne sont pas Lebesgue-intégrables, notamment toutes les fonctions dérivées, et inclut les intégrales ci-devant semi-convergentes.
Oskar Perron en 1912 et Arnaud Denjoy en 1914 avaient déjà découvert de tels procédés d'intégration plus puissants que l'intégrale de Lebesgue, prouvés équivalents seulement en 1921. Mais ces intégrales n'ont pas connu une grande popularité dans le public mathématique, je pense que c'est à cause de leur complication. Les informations sur ces questions ardues sont dans l'ouvrage que j'ai déjà évoqué : Russell A. Gordon, The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, AMS 1994.
Et c'est ici qu'on voit le second intérêt de la KH-intégrale, bien résumé dans le titre de Bartle : c'est que son exposé est très simple, et dans le prolongement de l'intégrale de Riemann. Et l'on a une intégrale équivalente à celle de Denjoy-Perron. Cela ne signifie pas un renoncement à l'intégrale de Lebesgue, puisque sont L-intégrables les fonctions $f$ telles que $f$ et $|f|$ sont KH-intégrables. On obtient donc un exposé cohérent qui comprend les intégrales de Riemann, de Lebesgue, de Kurzweil-Henstock. Pour s'en convaincre, voir l'excellent livre que j'ai déjà cité : Jean-Yves Briend, Petit traité d'intégration, Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock, EDP Sciences, 2014, 290 p. Ou bien : Robert G. Bartle, A Modern Theory of Integration, AMS 2001, 455 p., avec exercices et fascicule de corrigé de ceux-ci.
On voit les retombées pédagogiques possibles. Je ne méconnais pas les arguments pragmatiques de remarque, qui est sans doute un professeur d'Université légitimement préoccupé par le niveau de ses étudiants. J'y répondrai dans un prochain message. Là je vais voter.
Bonne et belle journée pour la France.
F. Ch.
Quelques références:
<https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_de_Kurzweil-Henstock>
<http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf>.
<http://www.univ-irem.fr/exemple/reperes/articles/31_article_212.pdf>
<https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/henstock.pdf>
Bien sûr, un petit bémol, le « on » indiqué plus haut ne représentait sans doute qu'une petite partie de la population, faut pas idéaliser le passé outre mesure. Ce qu'on peut espérer aujourd'hui pour les mathématiques, c'est qu'une petite partie de la population actuelle finira par rattraper tous ces retards accumulés (retards par rapport au passé idéalisé). Et que les autres trouveront leur chemin ailleurs et n'en s'en porteront pas plus mal.
J'ai peur quand je lis on a besoin d'aller plus loin mais je me lance : peut-on avoir plus de détails?
(on sort du cadre "pédagogique-licence", et je reconnais être largué...)
Edit : Grillé
Et d'autre part, il me semble que toute la théorie des espaces $L^p$ ne passe pas avec l'intégrale de KH
(oui, je l'avais déjà postée)
J'imagine que l'on apprendrait de bonnes pratiques dans le cadre HK aussi.
Dans les messages ci-dessus on voit bien à quel point la multitude des approches de "la" théorie de l'intégration a semé le trouble.
@remarque je vois la question concerne les spécialistes.
Amicalement.
Jean-Louis, dont la vie a changé depuis sa découverte de KH..
P.S.; Je hais les probabilistes...:-X
Pour ce qui est de la minorité, vu l'importance de la théorie de la mesure, je doute que ce soit un mot approprié.
Il y a en gros deux "problèmes" majeurs:
1) L'espace associé n'est pas aussi sympathique que celui que l'on a pour Lebesgue : https://en.wikipedia.org/wiki/Alexiewicz_norm
2)L'intérêt majeur de KH est de revenir au temps "newtonien" où intégrale = inverse de la dérivée. Simplement, les extensions en dimension supérieure sont en fait plus problématiques, puisque, en gros soit on a Fubini, soit on intègre (toutes) les divergences, mais pas les 2, si je ne me trompe pas. On a aussi un problème de non-invariance par rotation.
Mais du travail est encore en train d'être fait là-dessus... Il y a beaucoup de références sur le net, j'en cite quelques unes en passant:
un "survey" :Non absolute integrals in the twentieth century. (pdf trouvable sur le net qui vient de la conf. citée après)
un séminaire AMS : http://www.emis.de/proceedings/Toronto2000/
qq réfs MO: http://mathoverflow.net/questions/34077/what-are-the-obstructions-for-a-henstock-kurzweil-integral-in-more-than-one-dime
(contient des références)
qq bouquins sur les intégrales: A garden of integrals, The Riemann approach to integration theory (Pfeffer), + les bouquins mentionnés précédemment.
Désolé pour les références peu précises et rapides. Le survey est assez complet et intéressant, il évoque aussi pas mal d'autres sujets qui expliquent l'engouement pour les travaux de Denjoy, Perron... Le travail qui reste à accomplir dans le domaine est vaste, et intéressant. Notamment sur l'extension éventuelle à autre chose que les R^n, l'étude des diverses KH-intégrales sur R^n (il y a en fait un phénomène intéressant puisque qu'une "même intégrale" (définitions équivalentes) sur R^n donne des intégrales différentes sur R (c'est expliqué dans le survey, mais je n'ai pas regardé en détail)) et sur l'espace KH ou Denjoy ou Perron ou MacShane ou ... muni de la norme d'Alexiewicz (et son complété).
Je me plaçais au niveau d'un nouveau Bachelier qui a bien compris que l'aire sous la courbe d'une fonction continue (mouais...disons "intuitivement continue" puisqu'on définit la continuité intuitivement) peut être approchée par les rectangles.
Riemann offre une rigueur à l'intuition.
C'est en ce sens que j'utilise le terme "plus naturel". Je le rends ainsi un peu plus objectif, non ?
La théorie de la mesure est-elle faisable, digérable, pour un nouveau Bachelier ?
Est-ce "naturel" quand on cherche l'aire sous une courbe ? Je ne le pense pas (est-ce encore subjectif, sérieusement ?).
J'entends les arguments pragmatiques sur le temps qu'on passe(rait) à bien faire le boulot et en effet de ce point de vue là, Riemann est chronophage si on veut que ça passe dès la première louche.
En fait je suis d'accord avec à peu près tout ce que je lis dans ce fil (cependant sans connaitre réellement KH, c'est pourquoi j'interviens peu et fais assez confiance aux intervenants).
Le problème se situe, non pas dans les différents concepts, mais j'ai l'impression que c'est en ce qui concerne l'enseignement et ses contraintes (évolution du niveau, des programmes, du quotat horaire, et même d'autres paramètres sociétaux allais-je dire...).
En relisant le fil, c'est ce qui me saute aux yeux. Comme si la question était "qu'est-il primordial de donner à moudre à des gens qui font des maths, quand on n'a pas le temps de tout faire ?" .
Merci pour ce fil. Au plaisir de lire la suite.
Je pense qu'un cours d'introduction à la topologie en première année de bachelier est tout à fait abordable, par contre, et permettrait une approche intéressante; mais je ne connais pas la manière dont sont construits les programmes (ni si mon université est l'une des rares à n'introduire la topologie qu'en deuxième année) et j'imagine qu'ils sont un minimum réfléchis.
Enseigner, c'est faire des choix dans le réel, pas dans des situations hypothétiques.
Construire une théorie de l'intégration, c'est très beau, mais il me semble qu'aujourd'hui dans la formation d'un jeune mathématicien ou d'une jeune mathématicienne, il y a des choses qui sont plus prioritaires, par exemple la pratique des majorations.
Ca me semble beaucoup plus important qu'un grand nombre d'élèves pratique au quotidien l'intégrale et en devienne familiers plutôt que d'être informés sur les détails d'une horlogerie complexe, alors qu'ils ne sont pas formés pour en apprécier les finesses.
L'intégrale de Cauchy des fonctions continues est utile et formatrice; en revanche vouloir intégrer sur une classe plus grande avant l'étude de l'intégrale par rapport à une mesure ( indispensable pour faire des probabilités) me semble un luxe que nous n'avons pas.
Le savoir mathématique n'a pas à se justifier par son utilité réelle ou supposée pour d'autres disciplines scientifiques, il est depuis des siècles une part indiscutable du corpus de savoirs reconnus pour leurs qualités intellectuelles intrinsèques et que nous devons transmettre. Particulièrement, la théorie de l'intégration est une construction conceptuelle du plus haut intérêt, qui doit être enseignée comme telle dès que possible. Généralement, on enseignait l'intégrale de Riemann à Bac+1, mais pendant une période, comme j'ai dit, on l'a fait en Terminale C, et les élèves ont survécu, et pas seulement à Louis-le-Grand (*).
La KH-intégrale m'a semblé une chance parce qu'elle se situe dans le fil de l'intégrale de Riemann, ainsi que le soulignait l'article de Bartle de 1996 dont j'ai parlé, ainsi qu'un des premiers traités d'initiation : Robert Mc Leod, The generalized Riemann integral, MAA, 1980. Alors l'intégrale de Riemann enseignée en Terminale constituerait une préparation pertinente et cohérente à la KH-intégrale en Math-Sup ou L1. Et on aurait ainsi un accès possible à l'intégrale de Lebesgue à Bac+2.
Moi j'ai tendance à imaginer des choses impossibles, je sais, mais j'observe que Jean-Pierre Demailly, autrement plus qualifié que moi, va plus loin dans un document de 2008, du plus haut intérêt : "Perspectives pour une renaissance de l'enseignement des mathématiques dans le primaire et le secondaire", qu'on trouve ici :
<https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/renaissance.pdf>
Il part d'un souci que je partage : << Si les étudiants échappent à l'intégrale de Lebesgue - comme cela arrive à un nombre de plus en plus grand de CAPESiens-, ils n'auront donc jamais eu l'occasion de se voir exposer une théorie "sérieuse" de l'intégration, ce qui est préoccupant. >>,
Et il évoque la possibilité d'enseigner la KH-intégrale dès le lycée, en précisant : << Un prérequis indispensable est d’avoir déjà assimilé l’art de couper les $\varepsilon$ en quatre – ou d’être prêt à faire l’effort de creuser la question. Le public visé est celui des élèves de Terminale très motivés >>.
"Très motivés" ? Hum... Il manque peut-être quelque chose comme condition... Et c'est peut-être pousser le bouchon un peu loin...
J'y reviendrai... http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1180537,1184141#msg-1184141
Bonne journée.
F. Ch.
..............................................................................................
[small](*) Grosso modo je dirais pendant près de vingt ans entre 1968 et 1988, mais j'aimerais qu'un professeur chevronné (par exemple Rescassol) précise cette période.[/small]
[Ajout du lien. AD]
J'ai passé le bac en 1968 et j'ai vu l'intégrale de Riemann en TC au lycée Alphonse Daudet de Nîmes.
Mais j'avais un professeur qui prenait quelques liberté avec le programme.
Je l'ai revue après à nouveau en taupe.
Mais je n'ai pas de renseignement sur la période où elle a été enseignée en TC.
Cordialement,
Rescassol
Justement la KH (comme insiste le poly de Demailly https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/kurzweil_light.pdf ) sert à éviter de traiter l'intégrale de Riemann!
C'est pas pour en faire un prérequis.
Quand à l'intégrale de Lebesgue, son enseignement est motivé par la théorie de la mesure pour les probas, pour faire d'une pierre deux coups.
Difficile d'avoir un objectif clair dans ce cas.
> Quand à l'intégrale de Lebesgue, son enseignement est motivé par la théorie de la mesure pour les probas,
Bah non. Il n'y a pas que les probas dans la vie (fort heureusement, il y a aussi l'algèbre l'analyse), et l'intégrale de Lebesgue est un des piliers de l'analyse moderne. Je ne comprends pas cette excitation autour de l'intégrale de KH, qui fait bien le petit boulot de réciproque de la dérivation dans $\R$, certes, mais ne va pas beaucoup plus loin. Elle aurait un intérêt pédagogique dans un monde idéal où les horaires d'enseignement des mathématiques seraient multipliés par deux (et où les étudiants issus du lycée connaîtraient les bases des mathématiques).
Mais arrivé au L3 il devient nécessaire (au moins pour l'agreg) de faire des probas d'où la tentation de faire au plus facile, Villani http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2013/03/IAF.pdf dit clairement pourquoi il refuse de faire des probas dans la foulée.
Comme tu le dis le manque de temps...
Personellement, je n'aime pas l'analyse fonctionnelle, et l'intégrale de Lebesgue n'est pas un objectif je n'ai donc aucune motivation particulière.
Par contre les intégrales généralisées me rendent malades! Juste à l'évacation du nom...
J'imagine que le KH est le dernier espoir pour beaucoup ici de sauver les maths au lycée (mais les maths comme il y a 25-30 ans sont mortes au lycée depuis lontemps) et le premier cycle universitaire.
Comme on le sait peu d'étudiant voit la théorie de l'intégrale de Lebesgue (l'analyse complexe non plus), la crainte augmente de plus en plus de voir ces théories disparaitre.
C'est assez étonnant. Peu d'étudiants de quelles filières? Je ne doute pas de ton propos, mais il m'étonne grandement car, en Belgique, même les étudiants en polytechnique voient l'analyse complexe et toutes les universités belges que je connais enseignent bien entendu l'analyse complexe et l'intégrale de Lebesgue durant le bachelier.
Probablement que le modèle français est différent, mais cela m'étonne.
Même les étudiants en polytechnique ?? Dans ce cas, dur à croire que d'aucuns pourraient prétendre ne jamais avoir entendu parler de formule intégrale de Cauchy !
Je ne sais pas ce qui se passe en Belgique mais les étudiants français ne font pas (aujourd'hui en 2015) de mathématiques jusqu'à l'âge de 18 ans et doivent tout rattraper en un temps très court lorsqu'ils sont dans le supérieur.