Suite définie par récurrence
Bonjour, j'ai du mal à rassembler des résultats pour les suites définies par récurrence.
Pouvez vous m'en donner quelques uns ?
J'avance une proposition :
Est-ce que vous avez d'autres résultats de ce genre ?
Pouvez vous m'en donner quelques uns ?
J'avance une proposition :
Soit $f$ une application de $I$ dans $E$, telle que $E\subset I$ et soit $u_{0}\in I$.
Soit $(u_{n})_{n}$ une suite définie par récurrence par $u_{n+1}=f(u_{n})$, alors si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge, elle converge vers un point fixe de $f$.
Est-ce que vous avez d'autres résultats de ce genre ?
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Réponses
Un sujet d'agreg interne je crois en fait l'étude.
On peut exprimer la suite en fonction de $n$ de manière explicite en utilisant les puissances des valeurs propres...
Mais je bloque malheureusement. Si la rédaction est à reprendre, ou que certains points peuvent être rédigés plus vites, n'hésitez pas à m'en faire part.
Je réponds dans la suite du message point par point :
$$\mathcal{P}(n)\Leftrightarrow 0<x_{n}<1$$
- Initialisation : la propriété $\mathcal{P}(2)$ est vraie car $x_1=1\Rightarrow x_2=\dfrac{2}{3}$.
- hérédité : Montrons que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$. Supposons que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un entier $n\in\mathbb{N}^*$ quelconque. Alors on peut écrire
On a montré que la propriété était vraie pour $n=2$ et que pour tout $n\in\mathbb{N}_{2}$, $\mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$. Donc la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}_{2}$.$$x_{n+1}=\dfrac{(1+x_n)^2-(1+x_n)}{(1+x_n)^2-x_n^2}$$
Si $x_{n}\in]0,1[$, alors $(1+x_n)<(1+x_{n})^2$ donc le numérateur est strictement positif d'une part. D'autre part, $x_{n}^2<(1+x_{n})^2$, donc le dénominateur est strictement positif.
Il reste à montrer que $(1+x_{n})^2-(1+x_{n})<(1+x_{n})^2-x_{n}^2\Leftrightarrow (1+x_{n})>x_{n}^2$ ce qui est nécessairement le cas car $(1+x_{n})\in]1,2[$ par hypothèse et $x_{n}^2\in]0,1[$ à nouveau par hypothèse.
Donc $\mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$.
$$\forall n\in\mathbb{N}^*,\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{1+x_{n}}{1+2x_{n}}\leq 1$$
Donc la suite est strictement décroissante.
$$\dfrac{1}{x_{n+1}}=\dfrac{1+2x_{n}}{x_{n}(1+x_{n})}$$
Il vient :
$$\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_{n}}=\dfrac{1+2x_{n}}{x_{n}(1+x_{n})}-\dfrac{1+x_{n}}{x_{n}(1+x_{n})}=\dfrac{1}{1+x_{n}}$$
D'après le résultat de la question $I$ (non montré ici), si une suite converge, alors sa moyenne de Césaro converge vers la limite de $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. Comme $u_{n}$ converge, $v_{n}$ converge. Donc
$$
\lim_{n\to\infty} v_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\dfrac{1}{x_{n+1}n}-1\right)=1
$$
Il vient :
$$\dfrac{1}{nx_{n+1}}\sim_{\infty}n+1\sim_{\infty}n$$
Soit encore $$x_{n}\sim_{\infty}\dfrac{1}{n^2}$$
La phrase "...à moins que $x_n=0$" est bien étrange.
Premièrement, est-ce pour tout $n$ ou pour un certain $n$ ?
Deuxièmement, la question précédente précise que pour tout $n$, $x_n>0$.
C'est fâcheux.
Ensuite, oui, sans invoquer la fonction $f$ il suffit de dire : puisque la suite converge, alors on peut noter $l$ sa limite réelle (et même dans [0,1[).
On étudie le membre de droite ...etc et on passe à la limite (l'existence est assurée par celle du membre de gauche).
Ainsi on obtient une equation vérifiée par $l$.
Soit $(u_{n})_{n\geq 1}$ une suite à valeur dans $\mathbb{R}$ définie par : $$u_{n}:\begin{cases}u_{1}&=1\\u_{n+1}&=f(u_{n})\end{cases}$$ La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0,1]$. Elle est continue sur $[0,1]$.
Un point fixe de $f$ est bien 0. C'est aussi le seul point fixe de $f$ sur $[0,1]$.
En effet, supposons $x\in]0,1]$ et $f(x)=x$. Alors $\dfrac{x+1}{1+2x}=1$, ce qui est absurde. Donc $0$ est le seul point fixe de $f$ sur $[0,1]$.
Maintenant, on a :
1) L'application $f$ est strictement décroissante sur $]0,1[$ et continue sur $[0,1]$.
2) Le nombre $\ell=0$ est un point fixe de $f$, c'est à dire que $f(\ell)=\ell$.
Je ne vois pas en quoi on peut « formellement » en déduire que $\lim\limits_{n\to\infty}u_{n}=0$ même si tous les indices pointent dans cette direction. Instinctivement, je dirais que $$\forall \epsilon>0,\ \exists n_{0},\ n\geq n_{0}\Rightarrow |u_{n}|\leq\epsilon$$ (ce qui est bien la définition de la convergence d'une suite).
2) on sait que $(u_n)_n$ converge.
3)
membre de gauche : ça converge vers $l$
membre de droite : $\frac{u_n(u_n+1)}{1+2u_n}$ converge vers $\frac{l(l+1)}{1+2l}$.
(Attention si tu parles de $f$ et que tu dis ça tend vers $f(l)$ il vaudrait mieux utiliser un argument de continuité...c'est pour ça notamment que je pense qu'on peut se passer de l'outil "fonction" dans cette question).
4) $l$ vérifie une équation dont la seule solution est 0.
Si on trouvait $l=-2$ on pourrait se poser la question...mais là on est bien dans [0,1[ (j'ouvre en 1 car on sait que ce n'est pas 1 grâce à la stricte décroissance de la suite). Pour la fonction et son étude (que je ne conseille pas) je prendrais [0,1].
Bonsoir Christophe.
Je te trouve bien radical dans tes deux affirmations.
Amicalement,
e.v.
1) l'énoncé n'a pas de sens si $I$ n'est pas muni d'une topologie, puisqu'on parle de suites convergentes.
2) la suite $u_0:=1$ et $u_{n+1}:=u_n/2$ tend vers $0$, et elle est de la forme souhaitée avec $$[f:x\mapsto if \ x\neq 0\ then\ x/2\ else\ 142536]$$ Or $f(0)\neq 0$.
1) Puisque tu ne parles que de limites, un bon gros filtre suffit.
2) Avec une topologie tout ce qu'il y a de grossière le résultat est vrai.
Hmmm ?
amicalement,
e.v.
ah non. Pour la top grossière, toutes les suites convergent vers tout point.
Je cherchais une bonne raison pour me coucher, j'en ai une!
Bonne nuit,
e.v.
[size=x-small]et en prenant card(I)<2 ...?[/size]
On est bien d'accord que pour que la suite converge, $I$ doit avoir une topologie (espace métrique ?).
Ça tombe bien, $I$ est une partie de $\mathbb{R}$. Maintenant je ne dis pas si $I$ est ouvert, semi-ouvert ou un compact ou même réunion d'intervalles.
Christophe, si tu vois une nécessité supplémentaire sur $I$ pour pouvoir faire des théorèmes, n'hésite pas.
Ça peut fixer les idées et être plus "concret" sans être trop restrictif avec "que" les espaces (vectoriels) normés.
La grande différence est de manipuler des nombres, des inégalités.
Certains vont dire que ce n'est justement pas un avantage mais je pense qu'au début "on sait où on va" par rapport aux ouverts qui peuvent paraître plus "abstraits".
Avec $f~:~x\mapsto \dfrac{x(x+1)}{1+2x}$, tu as deux options pour démontrer que $f(\ell) = \ell$.
Les deux commencent par remarquer que $u_{n+1}\to\ell$.
A partir de là,
1. La suite $(u_{n+1})\to \dfrac{\ell(\ell+1)}{1+2\ell}$ grâce aux opérations sur les limites.
2. La fonction $f$ est continue en $\ell$ (si $\ell\neq -\frac12$ bien sûr)
e.v.
Pour la suite particulière du CAPES 2015, voici comment je vois les choses.
Soit $ I=[0,+\infty [$ et $f:x\mapsto \frac{x(1+x)}{1+2x}$, qui est une application de $I$ dans $I$.
Il est clair que si $x>0$ alors : $0< f(x)<x$.
On définit une suite réelle $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ par : $x_1>0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, $x_{n+1}=f(x_n)$. Cette suite vérifie, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ : $x_n> 0 $ et $x_{n+1} < x_n$. La suite $x_n$ est donc une suite décroissante minorée par $0$, qui admet donc une limite $\ell \geq 0$, et $x_{n+1}$ a aussi pour limite $\ell $. Comme $f$ est continue, $f(x_n)$ a pour limite $f( \ell)$. D'où : $\ell =f(\ell)$, ce qui implique : $\ell =0$.
Si l'on ne veut pas parler de continuité, on peut noter que si $x_{n}\rightarrow \ell$, alors, de par les opérations sur les limites : $f(x_{n})=\frac{x_{n}(1+x_{n})}{1+2x_{n}}\rightarrow \frac{\ell(1+\ell)}{1+2\ell}=f(\ell)$.
On poursuivra demain. Bonne nuit.
F. Ch.
Par n'importe quel bout. Par exemple, prouve ce que tu as annoncé dès le départ (avec les restrictions qui marchent). Soit $E$ un espace topologique séparé (je pense que tu sais ce que c'est), $f$ une application de $E\to E$ continue sur $E$ et $u$ une suite à termes dans $E$ telle que $\forall n\in \N: u(n+1)=f(u(n))$ qui converge vers $a$. Alors $a=f(a)$.
Ensuite cherche un contre-exemple dans le cas où $E$ n'est pas séparé. Voilà deux exercices qui te permettent de démarrer sans t'éloigner d'un sujet qui te préoccupait.
Chaurien, merci beaucoup pour ta preuve.
En voici une autre que j'espère valide.
On a montré que :
$$\forall n\in\mathbb{N}^*, 0<x_{n}\leq 1$$
Comme la suite est décroissante et minorée, elle converge.
Notons $l$ sa limite. Supposons que $l=\epsilon$ avec $0<\epsilon<1$.
Remarquons alors que l'on a $\dfrac{f(\epsilon)}{\epsilon}=\dfrac{1+\epsilon}{1+2\epsilon}\neq 1$ donc :
$$\forall \epsilon\in]0,1[ , f(\epsilon)< \epsilon$$
On a donc le résultat suivant :
$$\forall \epsilon\in]0,1[,\exists n_{0}\in\mathbb{N}^*\textrm{ tel que }n\geq n_{0}\Rightarrow 0<x_{n}<\epsilon$$
On en déduit que $0$ est le plus grand des minorants de $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}^*}$ donc que $l=0$.