Suite définie par récurrence

albertine
albertine
dans Analyse
Bonjour, j'ai du mal à rassembler des résultats pour les suites définies par récurrence.

Pouvez vous m'en donner quelques uns ?

J'avance une proposition :
Soit $f$ une application de $I$ dans $E$, telle que $E\subset I$ et soit $u_{0}\in I$.

Soit $(u_{n})_{n}$ une suite définie par récurrence par $u_{n+1}=f(u_{n})$, alors si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge, elle converge vers un point fixe de $f$.

Est-ce que vous avez d'autres résultats de ce genre ?

Réponses

  • christophe c
    christophe c
    Ton énoncé est faux (et n'a en fait pas de sens sans munir $I$ d'une topologie, faux, en l'en munissant)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dom
    Dom
    L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre $n$.
    Un sujet d'agreg interne je crois en fait l'étude.

    On peut exprimer la suite en fonction de $n$ de manière explicite en utilisant les puissances des valeurs propres...
  • albertine
    albertine
    Bon en fait, soyons clair, plutôt qu'évasif, je travaille un peu sur l'énoncé du CAPES 2015.

    Mais je bloque malheureusement. Si la rédaction est à reprendre, ou que certains points peuvent être rédigés plus vites, n'hésitez pas à m'en faire part.

    file.php?4,file=46687

    Je réponds dans la suite du message point par point :
    1. On peut montrer ce résultat par récurrence. Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété dépendant de l'entier $n\geq 1$ :

      $$\mathcal{P}(n)\Leftrightarrow 0<x_{n}<1$$
      • Initialisation : la propriété $\mathcal{P}(2)$ est vraie car $x_1=1\Rightarrow x_2=\dfrac{2}{3}$.
      • hérédité : Montrons que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$. Supposons que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un entier $n\in\mathbb{N}^*$ quelconque. Alors on peut écrire
        $$x_{n+1}=\dfrac{(1+x_n)^2-(1+x_n)}{(1+x_n)^2-x_n^2}$$

        Si $x_{n}\in]0,1[$, alors $(1+x_n)<(1+x_{n})^2$ donc le numérateur est strictement positif d'une part. D'autre part, $x_{n}^2<(1+x_{n})^2$, donc le dénominateur est strictement positif.
        Il reste à montrer que $(1+x_{n})^2-(1+x_{n})<(1+x_{n})^2-x_{n}^2\Leftrightarrow (1+x_{n})>x_{n}^2$ ce qui est nécessairement le cas car $(1+x_{n})\in]1,2[$ par hypothèse et $x_{n}^2\in]0,1[$ à nouveau par hypothèse.

        Donc $\mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$.
      On a montré que la propriété était vraie pour $n=2$ et que pour tout $n\in\mathbb{N}_{2}$, $\mathcal{P}(n)\Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$. Donc la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}_{2}$.

    2. La suite $(x_{n})_{n\geq 1}$ est nécessairement décroissante. En effet, on sait d'après la question précédente que pour $n\in\mathbb{N}_{1}$, $0<x_{n}\leq 1$. Donc on peut écrire :
      $$\forall n\in\mathbb{N}^*,\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{1+x_{n}}{1+2x_{n}}\leq 1$$
      Donc la suite est strictement décroissante.

    3. La suite $(x_n)_{n\geq 1}$ est convergente, car elle est décroissante et minorée par zéro. On remarque que d'après la question précédente, $x_{n+1}<x_{n}$ à moins que $x_{n}=0$. Donc la suite converge vers zéro. GROS POINT LITIGIEUX Ce qui précède me semble suffire à montrer que $(x_n)$ converge vers zéro. Néanmoins, d'après la définition de $(x_n)$, on peut poser $f:x\mapsto\dfrac{x(1+x)}{1+2x}$ et le nombre $l=0$ est un point fixe de $f$. Peut on utiliser cela pour démontrer que $\lim_{n\to\infty} x_{n}=0$ ?

    4. Comme pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $x_{n}\neq 0$, alors on peut écrire :
      $$\dfrac{1}{x_{n+1}}=\dfrac{1+2x_{n}}{x_{n}(1+x_{n})}$$
      Il vient :
      $$\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_{n}}=\dfrac{1+2x_{n}}{x_{n}(1+x_{n})}-\dfrac{1+x_{n}}{x_{n}(1+x_{n})}=\dfrac{1}{1+x_{n}}$$
    5. Puisque $u_{n}=\dfrac{1}{1+x_{n}}$ et que $\lim_{n\to\infty}x_{n}=0$ d'après la question 3, alors $\lim_{n\to\infty}u_{n}=1$.

    6. En utilisant la définition $u_{n}=\dfrac{1}{x_{n+1}}-\dfrac{1}{x_{n}}$, alors $v_{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^nu_{k}=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{x_{n+1}}-1\right)$.
      D'après le résultat de la question $I$ (non montré ici), si une suite converge, alors sa moyenne de Césaro converge vers la limite de $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$. Comme $u_{n}$ converge, $v_{n}$ converge. Donc
      $$
      \lim_{n\to\infty} v_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\dfrac{1}{x_{n+1}n}-1\right)=1
      $$
      Il vient :
      $$\dfrac{1}{nx_{n+1}}\sim_{\infty}n+1\sim_{\infty}n$$
      Soit encore $$x_{n}\sim_{\infty}\dfrac{1}{n^2}$$
    46687
  • skilveg
    skilveg
    Pour la 3), ton argument est insuffisant : on pourrait imaginer que la suite décroisse strictement vers autre chose que $0$. Mais par contre tu peux effectivement regarder l'ensemble des points fixes de la fonction que tu notes $f$ : quels sont-ils ?
  • Dom
    Dom
    J'ai été attiré par le texte en rouge (il est fait pour ça) et je n'ai pas lu le reste.

    La phrase "...à moins que $x_n=0$" est bien étrange.
    Premièrement, est-ce pour tout $n$ ou pour un certain $n$ ?
    Deuxièmement, la question précédente précise que pour tout $n$, $x_n>0$.

    C'est fâcheux.

    Ensuite, oui, sans invoquer la fonction $f$ il suffit de dire : puisque la suite converge, alors on peut noter $l$ sa limite réelle (et même dans [0,1[).
    On étudie le membre de droite ...etc et on passe à la limite (l'existence est assurée par celle du membre de gauche).

    Ainsi on obtient une equation vérifiée par $l$.
  • albertine
    albertine
    Soit $f:x\mapsto \dfrac{x(x+1)}{1+2x}$ une fonction de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$.
    Soit $(u_{n})_{n\geq 1}$ une suite à valeur dans $\mathbb{R}$ définie par : $$u_{n}:\begin{cases}u_{1}&=1\\u_{n+1}&=f(u_{n})\end{cases}$$ La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0,1]$. Elle est continue sur $[0,1]$.
    Un point fixe de $f$ est bien 0. C'est aussi le seul point fixe de $f$ sur $[0,1]$.
    En effet, supposons $x\in]0,1]$ et $f(x)=x$. Alors $\dfrac{x+1}{1+2x}=1$, ce qui est absurde. Donc $0$ est le seul point fixe de $f$ sur $[0,1]$.
    Maintenant, on a :
    1) L'application $f$ est strictement décroissante sur $]0,1[$ et continue sur $[0,1]$.
    2) Le nombre $\ell=0$ est un point fixe de $f$, c'est à dire que $f(\ell)=\ell$.

    Je ne vois pas en quoi on peut « formellement » en déduire que $\lim\limits_{n\to\infty}u_{n}=0$ même si tous les indices pointent dans cette direction. Instinctivement, je dirais que $$\forall \epsilon>0,\ \exists n_{0},\ n\geq n_{0}\Rightarrow |u_{n}|\leq\epsilon$$ (ce qui est bien la définition de la convergence d'une suite).
  • skilveg
    skilveg
    La suite converge et tu as montré que sa limite ne pouvait qu'être l'unique point fixe de $f$, que demander de plus ?
  • Dom
    Dom
    1) pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$. (J'utilise la notation $f$ par fainéantise, davantage pour la formule que pour la fonction elle-même).

    2) on sait que $(u_n)_n$ converge.

    3)
    membre de gauche : ça converge vers $l$
    membre de droite : $\frac{u_n(u_n+1)}{1+2u_n}$ converge vers $\frac{l(l+1)}{1+2l}$.
    (Attention si tu parles de $f$ et que tu dis ça tend vers $f(l)$ il vaudrait mieux utiliser un argument de continuité...c'est pour ça notamment que je pense qu'on peut se passer de l'outil "fonction" dans cette question).

    4) $l$ vérifie une équation dont la seule solution est 0.

    Si on trouvait $l=-2$ on pourrait se poser la question...mais là on est bien dans [0,1[ (j'ouvre en 1 car on sait que ce n'est pas 1 grâce à la stricte décroissance de la suite). Pour la fonction et son étude (que je ne conseille pas) je prendrais [0,1].
  • ev
    ev
    christophe c écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1183923,1183927#msg-1183927

    Bonsoir Christophe.
    Je te trouve bien radical dans tes deux affirmations.
    Amicalement,
    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • christophe c
    christophe c
    @ev, bin mes deux affirmations sont vraies:

    1) l'énoncé n'a pas de sens si $I$ n'est pas muni d'une topologie, puisqu'on parle de suites convergentes.

    2) la suite $u_0:=1$ et $u_{n+1}:=u_n/2$ tend vers $0$, et elle est de la forme souhaitée avec $$[f:x\mapsto if \ x\neq 0\ then\ x/2\ else\ 142536]$$ Or $f(0)\neq 0$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ev
    ev
    Bonsoir Christophe,

    1) Puisque tu ne parles que de limites, un bon gros filtre suffit.

    2) Avec une topologie tout ce qu'il y a de grossière le résultat est vrai.

    Hmmm ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • christophe c
    christophe c
    Oui pour (1) certes, mais bon
    Avec une topologie tout ce qu'il y a de grossière le résultat est vrai.

    ah non. Pour la top grossière, toutes les suites convergent vers tout point.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • ev
    ev
    Ah flutre ! Il fallait que ça converge vers un point fixe. ça m'apprendra à faire mon malin.
    Je cherchais une bonne raison pour me coucher, j'en ai une!

    Bonne nuit,

    e.v.

    [size=x-small]et en prenant card(I)<2 ...?[/size]
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • albertine
    albertine
    Bon, vendredi soir et complètement ko mais je poste quand même.

    On est bien d'accord que pour que la suite converge, $I$ doit avoir une topologie (espace métrique ?).

    Ça tombe bien, $I$ est une partie de $\mathbb{R}$. Maintenant je ne dis pas si $I$ est ouvert, semi-ouvert ou un compact ou même réunion d'intervalles.

    Christophe, si tu vois une nécessité supplémentaire sur $I$ pour pouvoir faire des théorèmes, n'hésite pas.
  • Dom
    Dom
    Pour avoir $f(u_n)$ tend vers $f(l)$ il faudrait ne pas prendre n'importe quelle $f$...
  • albertine
    albertine
    Donc admettons que $f$ est continue, $I$ un espace topologique. Ça marche ? D'autres conditions ? (Faut vraiment que je me mette au niveau sur la topologie mais je ne sais pas par quel bout la prendre ?)
  • Dom
    Dom
    Je commencerais par le cas des espaces métriques.
    Ça peut fixer les idées et être plus "concret" sans être trop restrictif avec "que" les espaces (vectoriels) normés.
    La grande différence est de manipuler des nombres, des inégalités.
    Certains vont dire que ce n'est justement pas un avantage mais je pense qu'au début "on sait où on va" par rapport aux ouverts qui peuvent paraître plus "abstraits".
  • ev
    ev
    Bonsoir Albertine.

    Avec $f~:~x\mapsto \dfrac{x(x+1)}{1+2x}$, tu as deux options pour démontrer que $f(\ell) = \ell$.
    Les deux commencent par remarquer que $u_{n+1}\to\ell$.
    A partir de là,
    1. La suite $(u_{n+1})\to \dfrac{\ell(\ell+1)}{1+2\ell}$ grâce aux opérations sur les limites.

    2. La fonction $f$ est continue en $\ell$ (si $\ell\neq -\frac12$ bien sûr)

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Chaurien
    Chaurien
    Pour les généralités, rien à dire, ça part trop dans tous les sens.
    Pour la suite particulière du CAPES 2015, voici comment je vois les choses.
    Soit $ I=[0,+\infty [$ et $f:x\mapsto \frac{x(1+x)}{1+2x}$, qui est une application de $I$ dans $I$.
    Il est clair que si $x>0$ alors : $0< f(x)<x$.

    On définit une suite réelle $(x_{n})_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ par : $x_1>0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, $x_{n+1}=f(x_n)$. Cette suite vérifie, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ : $x_n> 0 $ et $x_{n+1} < x_n$. La suite $x_n$ est donc une suite décroissante minorée par $0$, qui admet donc une limite $\ell \geq 0$, et $x_{n+1}$ a aussi pour limite $\ell $. Comme $f$ est continue, $f(x_n)$ a pour limite $f( \ell)$. D'où : $\ell =f(\ell)$, ce qui implique : $\ell =0$.

    Si l'on ne veut pas parler de continuité, on peut noter que si $x_{n}\rightarrow \ell$, alors, de par les opérations sur les limites : $f(x_{n})=\frac{x_{n}(1+x_{n})}{1+2x_{n}}\rightarrow \frac{\ell(1+\ell)}{1+2\ell}=f(\ell)$.

    On poursuivra demain. Bonne nuit.
    F. Ch.
  • christophe c
    christophe c
    Faut vraiment que je me mette au niveau sur la topologie mais je ne sais pas par quel bout la prendre

    Par n'importe quel bout. Par exemple, prouve ce que tu as annoncé dès le départ (avec les restrictions qui marchent). Soit $E$ un espace topologique séparé (je pense que tu sais ce que c'est), $f$ une application de $E\to E$ continue sur $E$ et $u$ une suite à termes dans $E$ telle que $\forall n\in \N: u(n+1)=f(u(n))$ qui converge vers $a$. Alors $a=f(a)$.

    Ensuite cherche un contre-exemple dans le cas où $E$ n'est pas séparé. Voilà deux exercices qui te permettent de démarrer sans t'éloigner d'un sujet qui te préoccupait.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • albertine
    albertine
    CC : je ne sais pas (pas encore) le démontrer.

    Chaurien, merci beaucoup pour ta preuve.

    En voici une autre que j'espère valide.

    On a montré que :

    $$\forall n\in\mathbb{N}^*, 0<x_{n}\leq 1$$

    Comme la suite est décroissante et minorée, elle converge.

    Notons $l$ sa limite. Supposons que $l=\epsilon$ avec $0<\epsilon<1$.

    Remarquons alors que l'on a $\dfrac{f(\epsilon)}{\epsilon}=\dfrac{1+\epsilon}{1+2\epsilon}\neq 1$ donc :
    $$\forall \epsilon\in]0,1[ , f(\epsilon)< \epsilon$$
    On a donc le résultat suivant :
    $$\forall \epsilon\in]0,1[,\exists n_{0}\in\mathbb{N}^*\textrm{ tel que }n\geq n_{0}\Rightarrow 0<x_{n}<\epsilon$$
    On en déduit que $0$ est le plus grand des minorants de $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}^*}$ donc que $l=0$.
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