Séries presque alternées

Les deux solutions sont fausses...
Pour la première, c'est en effet parce que l'équivalence des termes généraux de deux séries de signe variable n'entraîne pas que les deux séries sont de même nature.
Pour la deuxième, c'est parce que l'inégalité est fausse pour les indices impairs : à gauche, un nombre strictement négatif ; à droite, un nombre strictement positif ; l'inégalité telle qu'écrite pose problème.

Néanmoins, la première solution donne la voie vers la solution : en factorisant ce qui est grand dans le dénominateur ($\sqrt{1+n}$ semble plus rapide que $\sqrt{n}$) et en faisant un développement asymptotique à deux termes, on écrit le terme général comme somme de deux termes généraux, l'une de signe alterné, l'autre de signe constant, dont on peut déterminer le comportement.

Soustraire l'équivalent $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$.

C'est un très bon exemple d'un problème "à double détente" comme dirait l'autre. On a :
$u_{n}=\frac{1}{1+(-1)^{n}\sqrt{1+n}}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}+(-1)^{n}}\sim \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$ quand $n\rightarrow +\infty $.
(Je préfère rester en $n+1$ pour me simplifier la vie).
Cet équivalent est le terme général d'une série convergente, bon, mais ceci ne nous dit pas quelle est la nature de la série de terme général $u_n$.
Cet équivalent n'est pas inutile pour autant.
En soustrayant cet équivalent à $u_n$, on aura une nouveau terme général négligeable devant $u_n$, et qui pourra peut-être nous apporter du nouveau :
$v_{n}=u_{n}-\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}(\frac{1}{1+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}}-1)=\frac{-1}{n+1}\cdot \frac{1}{1+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}}\sim \frac{-1}{n+1}$.
Et c'est bien ce qui arrive : notre série de terme général $v_n$ est divergente, et $u_n$ l'est aussi ipso facto.

Je pose de temps en temps en colle la nature de l'intégrale : $\int_{0}^{+\infty }\frac{\sin t}{\sin t+\sqrt{t}}dt$, ça marche de même.

Bonne soirée de Noël.
F. Ch.