limite d'une suite

hamzium
hamzium
dans Analyse
Bonsoir à tous.
J'ai un souci avec cet exercice. Je ne maitrise pas le Latex donc je le joins en pdf. J'ai montré l'existence et la convergence. Mon souci c'est la limite et l'équivalent.
Merci

[ Contenu du .pdf. jacquot]47195

Réponses

  • Chaurien
    Chaurien
    Bonjour.
    Ce n'est pas plutôt :$\varphi _{n}(x)=\cos (\frac{\pi }{2}x)-x^{n}$ ?
    Bonne journée.
    F. Ch.
  • jacquot
    jacquot
    Bonjour,
    Voici un graphique qui peut t'aider à deviner quelle est la limite.
    Pour la preuve, je pense à ceci:
    prouver que la suite $(a_n)$ est croissante et majorée
    Pour la limite il n'y a alors qu'un candidat possible.47197
  • Chaurien
    Chaurien
    Ce serait bien si le questionneur précisait comment il a prouvé l'existence de la limite.
  • Chaurien
    Chaurien
    On peut traiter plus généralement le cas de $\varphi _{n}(x)=\cos (\lambda x)-x^{n}$, $0<\lambda \leq \frac{\pi }{2}$.

    Cette fonction $\varphi _{n}$ est continue et strictement décroissante sur $[0,1]$, d'où l'existence et l'unicité de $a_{n}\in ]0,1[$ tel que : $\varphi _{n}(a_{n})=0$.

    Pour $x\in ]0,1[$, on a : $\varphi _{n+1}(x)>\varphi _{n}(x)$, ce qui implique que la suite $a_n$ est strictement croissante. Cette suite $a_n$ admet donc une limite $\ell$ telle que : $0<\ell \leq 1$. On vérifie que seul $\ell =1$ convient.

    Ensuite, l'équivalent demandé est celui de $1-a_n$ quand $n\rightarrow +\infty $.
    Pour $0<\lambda < \frac{\pi }{2}$ je trouve : $1-a_{n}\sim -\frac{1}{n}\ln \cos \lambda $.
    Pour $ \lambda = \frac{\pi }{2}$, c'est un peu plus caché, à suivre...

    Bonne journée, joyeux Noël.
    F. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et sauf erreur, pour $ \lambda = \frac{\pi }{2}$, je trouve : $1-a_{n}\sim \frac{\ln n}{n}$.
  • hamzium
    hamzium
    Bonjour Chaurien.
    <<On vérifie que seul l=1 convient>> et comment? Sinon c'est bien 2/Pi.
    Je suis curieux de voir pour Pi/2 comment vous avez obtenu cet équivalent.
  • MrJ
    MrJ
    Il suffit de remplacer dans l'équation, et on remarque que seul l=1 convient.
  • hamzium
    hamzium
    Et pour l'équivalent
  • jacquot
    jacquot
    Je ne comprends pas bien Cette explication succincte, Mr J.

    Une autre justification serait
    Si $\ell <1$, alors $\exists n\in\mathbb N $ tel que $\ell^n <\frac 1 2$ et donc $\alpha _n>\ell $
  • MrJ
    MrJ
    Si $0\leq l< 1$, alors $a_n^n$ converge vers $0$, alors que $\cos(\lambda a_n)$ ne converge pas vers $0$, ce qui contredit la définition de $a_n$.

    Édit : je me suis trompé de nom. Désolé.
  • hamzium
    hamzium
    Là c'est beaucoup plus clair.
  • jacquot
    jacquot
    Pas pour moi :
    Qu'est-ce que la suite $(x_n )$ ? Où a-t-elle été définie ?
  • Chaurien
    Chaurien
    Notations de mon précédent message. En particulier : $0<\lambda \leq \frac{\pi }{2}$.
    Si $0< \ell <1$ alors $a_{n}^{n}\rightarrow 0$, mais $\cos \lambda a_{n}\rightarrow \cos \lambda \ell >0$.
    Impossible, d'où : $ \ell =1$.

    Pour l'équivalent, la méthode habituelle est celle du "retour à zéro". On pose : $h_{n}=1-a_{n}$, qui tend vers $0^{+}$.
    L'égalité de définition de la suite s'écrit : $\ln \cos (\lambda (1-h_{n}))=n\ln (1-h_{n})$, et comme $n\ln (1-h_{n})\sim -nh_{n}$, c'est terminé si $0<\lambda <\frac{\pi }{2}$.

    Si $\lambda =\frac{\pi }{2}$, il faut ramer un peu plus, ma non troppo.

    Cette valeur $\lambda =\frac{2 }{\pi}$ est complètement idiote. Si l'on voulait un $\lambda \in ]0,\frac{\pi }{2}[$, les valeurs $\lambda = \frac{\pi }{4}$, ou sur $3$ ou $6$, ou même $\lambda =1$, étaient plus appropriées.

    Bonne après-midi.
    F. Ch.
  • Chaurien
    Chaurien
    Pour être complet, je vais traiter le cas $\lambda =\frac{\pi }{2}$.
    Dans ce cas : $-nh_{n}\sim n\ln (1-h_{n})=\ln \cos (\frac{\pi }{2}(1-h_{n}))=\ln \sin (\frac{\pi }{2}h_{n})=\ln (\frac{\pi }{2}h_{n}(1+o(1)))=\ln \frac{\pi }{2}+\ln h_{n}+o(1)\sim \ln h_{n}$.
    Posons $z_{n} =\frac{1}{h_{n}}$, qui tend vers $+\infty$, il vient : $n=z_{n}(\ln z_{n})(1+o(1))$, et là, un nouveau coup de log :
    $\ln n=\ln z_{n}+\ln \ln z_{n}+o(1)\sim \ln z_{n}$. En reportant dans l'égalité précédente, on obtient : $z_{n}\sim \frac{n}{\ln n}$ etc.
    Bonne soirée.
    F. Ch.
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