limite de la suite $(n\ln|\sin(n)|)_n$

Bonjour,

De manière équivalente on peut étudier $|\sin (n)|^n$ et cette suite ne converge pas. Je t'écris une preuve tout à l'heure ( pour le moment je suis très occupé comme tu l'imagine). L'idée c'est de faire de l'approximation rationnelle. Je détaillerai tout cela.

J'attends tout de même la preuve basée sur les approximations rationnelles de Mickaël

Bonsoir,
Je fais remonter cette question.
Il est clair que 1 est un point d'accumulation de $(\sin n) $
Mais peut-on trouver une suite $(\varphi_n) $ telle que
$\varphi_n (1-\sin (\varphi_n ))$ ait une limite finie ?

(Il faut pour cela que $\sin (\varphi_n )$ converge vers 1 assez rapidement.)
Des idées ?

Bonjour à tous,

Voilà je livre la solution à laquelle je pensais, il faut dire qu'hier je n'avais pas le temps ...

On va montrer que la suite $(\sin^n (n))_{n \geqslant 1}$ diverge.

Etape 1. Lorsque un entier $n$ est suffisamment proche d'un nombre de la forme $k \pi$ alors $\sin n$ est proche de $0$ et $\sin^n (n)$ est petit ... du moins on l'espère. Pareil si $n \approx \dfrac{\pi _2} +2k \pi$, $\sin n$ est proche de $1$ et donc $\sin^n (n)$ doit être grand ... et là aussi on l'espère. Mais si on y arrive on aura une sous suite qui converge vers $0$ et l'autre qui ne rencontrera jamais un certain intervalle de la forme $[- \varepsilon, \varepsilon]$, on aura donc prouvé que la suite ne converge pas.

En fait ce raisonnement nous montre qu'il y a essentiellement deux choses à régler :

1. Trouver des suites d'entiers qui convergent vers $\pi$ ou $\dfrac{\pi}{2}$.
2. Estimer la vitesse de convergence de ces suites pour que le passage à la puissance $n$ fasse ce que l'on souhaite.

Le premier point résulte de l’irrationalité de $\pi$ et $\dfrac{\pi}{2}$.

Le deuxième point est surtout concentré dans le lemme suivant (je ne met pas la démonstration qui est standard au niveau L1/L2, mais en tapant "mesure irrationalité" ou "approximation rationnelle" sur Google tu trouveras ton bonheur)

Lemme. Pour tout irrationnel $x$, il existe deux suites d'entiers $p_n,q_n$ tels que $p_n,q_n \to \infty$, $q_n$ est impair et : \[ \left \vert x- \frac{p_n}{q_n}\right \vert< \dfrac{1}{q_n^2} \]

Preuve. Wikipedia Avec ça on peut reconstituer une preuve.

Etape 2.

On fixe $p_n,q_n$ une suite comme dans le lemme pour $x= \pi$ et alors : \[|\sin (p_n)|=|\sin (p_n - q_n \pi)| \leqslant \frac{1}{q_n}\] et donc $|\sin^{p_n} (p_n)| \leqslant \dfrac{1}{q_n^{p_n}} \to 0$.

De la même façon on prend des suites $p_n,q_n$ comme dans le lemme pour $x = \dfrac{\pi}{2}$ et telle que pour $n \geqslant 1$, $\dfrac{1}{q_n} \leqslant \pi$. Alors : \[|\sin (p_n)|=\left \vert \cos \left( \frac{\pi}{2}-p_n \right) \right \vert = \left \vert \cos \left(q_n \frac{\pi}{2}-p_n \right) \right \vert \]

Après on utilise le fait que : \[\left \vert q_n \frac{\pi}{2}- p_n \right \vert< \dfrac{1}{q_n}\] Mas aussi que $\cos$ est décroissante sur $[0, \pi]$ et la minoration $\cos x \geqslant 1- \frac{x^2}{2}$ sur $\mathbb{R}_+$ (utiliser Taylor-Lagrange) pour obtenir :
\[|\sin (p_n)|= \left \vert \cos \left(q_n \frac{\pi}{2}-p_n \right) \right \vert \geqslant \left \vert \cos \left( \frac{1}{q_n} \right) \right \vert \geqslant 1- \frac{1}{2q_n^2} \]
Et donc : \[ |\sin^{p_n} (p_n) | \geqslant \left( 1- \frac{1}{2 q_n^2} \right)^{p_n} = \exp \left( p_n \ln \left(1- \frac{1}{2q_n^2} \right) \right) \to 1 \]

Avec ça on peut conclure.

J'espère ne pas avoir dit n'importe quoi !

PS. Pour ceux que ça intéresse, j'avais rencontré l'approximation rationnelle en étudiant un problème de convergence de la série :
\[\sum \frac{\sin ^n (n)}{n} \] Il fallait par transformation d'Abel estimer les sommes partielles : \[ \sum _{k=1}^N \sin ^k (k) \] J'ai jamais sû faire... J'ai cru entendre que Weyl a bossé et pondu plein de papiers sur ce genre de sommes d'exponentielles, mais je les ai pas trouvé sur le net.

@ Mickael
Il s'agit je présume de suites de rationnels qui convergent vers pi ou pi/2

@ gebrane0
Merci de nous rappeler Daniel Saada, trop tôt disparu.

Bonne soirée.
F. Ch.
[small]Le vrai tombeau des morts c'est le cœur des vivants[/small]

Bonjour,


Voici ma version, qui ne fait pas appel à l'encadrement d'un réel par des rationnels. Comme je soigne la rédaction, n'hésitez pas à critiquer.

Soit $\displaystyle x$ la suite réelle définie, pour tout $\displaystyle n$ entier non nul, par $\displaystyle x_n = n \ln |\sin n|.$

Existence :
Comme $\displaystyle \pi$ est irrationnel, l'argument du logarithme est strictement positif : la suite $x$ existe.

Démonstration de la divergence :
On suppose que la suite $x$ converge.
Il existe donc un réel $\displaystyle \ell$ tel que, quand $n$ tend vers l'infini, $\displaystyle n \ln |\sin n| \to \ell$, donc (1) $\displaystyle \ln |\sin n| \to 0$, donc (2) $\displaystyle |\sin n| \to 1$, donc (3) $\displaystyle \sin^2 n \to 1$. C'est absurde (4).
On a montré que $x$ diverge.

Plus de détails :
(1) Soit une suite réelle $u$ définie, pour tout $n$ entier non nul, par $\displaystyle u_n.$ S'il existe un réel $\displaystyle \ell$ tel que, quand $n$ tend vers l'infini, $\displaystyle n u_n \to \ell$, alors, pour tout $\displaystyle \epsilon >0$, $\displaystyle |u_n| = |u_n - \frac{\ell}{n} + \frac{\ell}{n} | \leq |u_n - \frac{\ell}{n} | + |\frac{\ell}{n}| = {|nu_n - \ell| \over n} + |\frac{\ell}{n}| < \epsilon$ pour $n$ suffisamment grand (car le numérateur du premier terme peut être choisi aussi petit que nécessaire). On a montré que $\displaystyle u_n \to 0$ quand $n$ tend vers l'infini. On applique ce lemme à $\displaystyle u_n = \ln |\sin n|.$

(2) La fonction $\displaystyle x \mapsto \ln x$ définie de $\displaystyle ]0, +\infty[$ dans $\R$ est continue et strictement monotone (croissante) et donc bijective. On a $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \ln |\sin n| =0=\ln\Big( \lim_{n \to +\infty} |\sin n| \Big) = \ln 1.$

(3) La fonction $f: \displaystyle x \mapsto x^2$ définie de $\R$ dans $[0, +\infty[$ est continue. Soit une suite réelle $u$ définie, pour tout $n$ entier non nul, par $\displaystyle u_n$. S'il existe un réel $\displaystyle \ell$ tel que, quand $n$ tend vers l'infini, $\displaystyle u_n \to \ell$, alors $\displaystyle f(u_n) \to f(\ell).$ On applique ce lemme à $\displaystyle u_n = |\sin n|$ et $\displaystyle \ell=1$ avec $|\sin n|^2 = \sin^2 n.$

(4) Soit les suites réelles $\displaystyle x, y, z$ définies, pour tout $n$ entier non nul, par $\displaystyle (x_n, y_n, z_n) = (\cos^2 n, \sin^2 n, \sin(2n)).$ On sait que $\displaystyle \cos(n+1) = \cos 1 \cos n - \sin 1 \sin n$ et $\displaystyle \sin(n+1) = \sin 1 \cos n + \cos 1 \sin n.$ On en déduit immédiatement $\displaystyle (x_{n+1}, y_{n+1}, z_{n+1}) =(\cos^2 1x_n + \sin^2 1y_n - \cos1 \sin1 z_n, \sin^2 1x_n + \cos^2 1y_n + \cos1 \sin1 z_n, \sin 2 x_n -\sin 2 y_n + \cos 2 z_n)$ qui s'écrit aussi sous forme matricelle comme : $$\displaystyle \begin{pmatrix} x_n\\y_n\\z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 n\\\sin^2 n\\\sin(2n) \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x_{n+1}\\y_{n+1}\\z_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 1&\sin^2 1&-\cos 1 \sin 1\\\sin^2 1&\cos^2 1&\cos 1 \sin 1\\\sin 2&-\sin 2& \cos 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n\\y_n\\z_n \end{pmatrix} .$$

On suppose que la suite réelle $x$ converge.
Comme, pour tout entier $n$ non nul, $\displaystyle y_n=1-x_n$, alors la suite $y$ converge.
Comme $\displaystyle \cos 1 \sin 1 \neq 0$ et, pour tout entier $n$ non nul, $\displaystyle z_n = {\cos^2 1 x_n - x_{n+1} + \sin^2 1 y_n \over \cos 1 \sin 1}$, alors la suite $z$ converge.
On note $\displaystyle a,b,c$ les limites des suites $\displaystyle x, y, z$, respectivement.
On prend alors la limite quand $n$ tend vers l'infini du système d'équations et, nécessairement : $$\displaystyle \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 1&\sin^2 1&-\cos 1 \sin 1\\\sin^2 1&\cos^2 1&\cos 1 \sin 1\\\sin 2&-\sin 2& \cos 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} .$$
Comme le déterminant du système est non nul (il vaut $1$), alors il existe une unique solution $\displaystyle (a,b,c)=(0,0,0).$
Mais alors, pour tout entier $n$ non nul, $\displaystyle x_n+y_n=\cos^2 n + \sin^2 n = 1 = a+b$. C'est absurde.
On a montré que $x$ diverge ; mais alors $y$ diverge (c'est la partie à retenir); mais alors $z$ diverge.

Le déterminant se calcule facilement, pour tout $t$ réel, en remplaçant la première ligne par la somme des première et seconde lignes, puis en remplaçant la seconde colonne par la différence de la seconde et première colonnes :
$\displaystyle \begin{bmatrix} \cos^2 t&\sin^2 t&-\cos t \sin t\\\sin^2 t&\cos^2 t&\cos t \sin t\\\sin 2t&-\sin 2t& \cos 2t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &1&0\\\sin^2 t&\cos^2 t&\cos t \sin t\\\sin 2t&-\sin 2t& \cos 2t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 &0&0\\\sin^2 t&\cos 2t&\cos t \sin t\\ \sin 2t&-2\sin 2t& \cos 2t\end{bmatrix} =\\ \displaystyle =\cos^2 2t + 2 \sin 2t \cos t \sin t = \cos^2 2t + \sin^2 2t = 1.$

Bonjour,

Ah oui, je n'avais pas fait attention. Voici comment on peut exclure que $x_n = n \ln |\sin n|$ diverge vers l'infini.

On suppose que la suite $x$ diverge vers l'infini.
Comme $\displaystyle \pi$ est irrationnel, alors, pour tout $n$ entier non nul, on a $\displaystyle 0 < |\sin n| <1$ et alors $\displaystyle n \ln |\sin n| < 0.$ Pour tout $M>0$, il existe $N$ entier tel que, pour tout $n \geq N$, $\displaystyle |x_n| = |n \ln |\sin n|| >M$, donc $\displaystyle -n \ln |\sin n| >M$ et $\displaystyle 0 <|\sin n|<e^{-\frac{M}{n}}$. Modifié suite à la remarque de @gebrane0 ci-dessous :
Pour tout $\displaystyle \epsilon >0$, pour tout $n$ entier non nul, on peut choisir $M$ suffisamment grand pour que $\displaystyle |\sin n -0|<e^{-\frac{M}{n}} < \epsilon.$ C'est la définition que la suite $\displaystyle n \mapsto \sin n$ converge vers $0$ ou encore que la suite $\displaystyle n \mapsto \sin^2 n$ converge vers $0.$ C'est absurde d'après (4).
On a montré que la suite $x$ ne tend pas vers l'infini.
Par ailleurs, on a démontré qu'elle diverge, alors cette suite n'a pas de limite.

@YvesM
Je viens de remarquer ta rectification
Si je comprend bien tu dis que si une suite (u_n) vérifie la propriété
Pour tout M>0, il existe N entier tel que, pour tout $n\geq N, \displaystyle 0 <|u_n|<e^{-\frac{M}{n}}$
alors $u_n$ tend vers 0

Si c'est cela, je ne suis pas convaincu ( si tu choisis M assez grand , le N qui depend de M sera assez grand et le $n\geq N$ sera telque $\frac 1n$ sera assez petit et tu peux pas controler $\frac Mn$

Bonjour Cher YvesM
Les preuves sont très techniques pour les suites P(n)sin(n) et ses variantes...
Ce fil est interessant http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,645688