Lien espace métrique et normé

n_wg
n_wg
dans Analyse
Bonjour,

J'essaye de résoudre en vain l'exercice suivant. Je note $\mathcal{I}$ l'image de l'application $x\mapsto f_x$. Pour commencer, il faut montrer les deux points suivants :

1) $x\mapsto f_x$ est une bijection de $X$ dans $\mathcal{I}$. Il suffit de montrer qu'elle est injective. Soit $(x,y)\in X^2$ tel que $f_x=f_y$. Alors pour tout $A\in\mathcal{F}, d(x,A)=d(y,A)$. En particulier pour $A=\{x\}\in\mathcal{F}$, il vient $d(y,x)=0$ c'est-à-dire $x=y$.

2) $\forall (x,y)\in X^2, ||f_x-f_y||_{\infty}=d(x,y)$. Et là je bloque. J'imagine qu'il faut à un moment utiliser le caractère 1-lipschitzien de $t\mapsto d(t,A)$.

Merci pour votre aide.47261

Réponses

  • n_wg
    n_wg
    Finalement j'ai réussi à montrer le 2) de la façon suivante : pour tout $A\in\mathcal{F}, |f_x(A)-f_y(A)|=|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$ par le caractère 1-lipschitzien évoqué précédemment. Donc par passage au sup, on obtient $||f_x-f_y||_{\infty}\leq d(x,y)$.

    Montrons l'inégalité inverse : par définition du sup, en prenant $A=\{y\}\in\mathcal{F}$, on a $||f_x-f_y||_{\infty}\geq d(x,y)$.

    Néanmoins, je ne vois pas comment conclure l'exercice.
  • n_wg
    n_wg
    On a montré que l'espace métrique $X$ est isométrique à la partie $\mathcal{I}$ de l'espace normé $\mathcal{B}(\mathcal{F})$, mais rien ne nous dit que $\mathcal{I}$ est fermée.
  • massimassimo
    massimassimo
    En particulier si $X$ est complet on peut affirmer qu'il est isométrique à un fermé d'un espace vectoriel normé
  • n_wg
    n_wg
    Sauf qu'ici $X$ n'est pas supposé complet.
  • gebrane
    gebrane
    Il faut relire l’énoncé, le théoreme ne stipule pas que $\mathcal{I}$ est un fermé dans B, ( il y a un contre exemple classique avec $X=\Q$, je ne me rappelle pas) mais dans un espace vectoriel normé
    un bon candidat est vect{$f_x, x\in X$}
    Le 😄 Farceur


  • n_wg
    n_wg
    Comment ça relire l'énoncé ?

    L'énoncé dit : "En déduire que tout espace métrique est isométrique à un fermé d'un espace vectoriel normé".
  • Chaurien
    Chaurien
    Mais l'énoncé ne dit pas que ce dernier EVN est $ \mathcal{B}(\mathcal{F}) $ tout entier. Prendre plutôt le sous-espace engendré par les $f_x$, comme dit gebrane0.
  • gebrane
    gebrane
    Tu pose E=Vect {$f_x, x\in X$}, , E est un espace vectoriel normé
    Démontre que I est un fermé dans E
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    Remarques à propos de cet énoncé, qui provient du cours d'Analyse de Frédéric Paulin :
    http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_analyseI.pdf
    (je trouverais sympa que les questionneurs donnent la référence des textes qu'ils citent).

    Intéressé par cette propriété j'ai fait quelques recherches sur Internet. J'ai trouvé plusieurs références à ce dit "Théorème d'Arens-Fells". Et j'ai découvert qu'en réalité c'est le théorème d'Arens-Eells.

    Voici la référence exacte à l'article qui présente ce théorème : Richard F. Arens, James Eells, Jr., On embedding uniform and topological spaces, Pacific Journal of Mathematics, Volume 6, Number 3 (1956), p. 397-403.
    http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm/1103043959
    http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1103043959
    (on peut lire et télécharger cet article).

    C'est marrant comme les gens se recopient sans se soucier d'aller aux sources. Si j'ai le temps, je prendrai contact avec Paulin et autres pour leur signaler l'anomalie. J'ai déjà fait corriger ainsi un "déterminant de Schmidt" (pour Smith) et un "repère de Fresnet" (pour Frenet). Ainsi va la vie.

    Bonne journée.
    F. Ch.
  • n_wg
    n_wg
    C'est bon. Merci pour votre aide.
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