équation fonctionnelle

Pour $x=-1/4$ on obtiendrait $0 = -1/2$.

En effet, il n'y a pas de fonction affine solution. Mais en soustrayant une fonction affine bien choisie, cela revient à résoudre l'équation $g(x)-g(5x+1)=C$ avec $C$ indépendant de $x$. Comme il existe $x$ tel que $x=5x+1$...

(Ensuite, on peut s'intéresser aux solutions définies en-dehors de ce point.)

Soient des réels $a,b,c,d$, avec $a\neq \pm 1$. On cherche les applications continues $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que : $\forall x\in \mathbb{R},f(ax+b)-f(x)=cx+d$.
Le point fixe de la fonction $u(x)=ax+b$ est : $\alpha =\frac{b}{1-a}$. Conformément à la remarque de Welfar, il n'y aura de solution (continue ou non) que si $c \alpha +d=0$. Dans ce cas, les solutions sont affines, de la forme : $f(x)=\frac{c}{a-1}x+p$, avec $p$ quelconque.
En fait il suffit de supposer que la fonction $f$ est continue au point $\alpha$.
Maintenant j'ignore s'il y a des solutions discontinues.
On peut sans doute étendre ceci aux applications de de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$.

Bonne soirée.
F. Ch.