Suite périodique.

Ivanoe · December 2015

Bonjours, mes recherches en termes d'exos de maths m'ont menées à celui-ci.

Soient a et b deux complexes. A quelle condition la suite $(z_n)$ définie par : $z_{n+1}= a*z_n+b$ est-elle périodique à partir d'un certain rang ?

Après quelques dépatouillages, j'en suis arrivé à poser : $z_n= z_{n+k}$ ce qui m'a mené à une formule de type : $\frac{(1 - a^k)b}{(1 - a)} - (a^k - 1)=z_n$
car pour ce genre de suite : $u_n =a^n(u_0 +\frac{b}{a-1})- \frac{b}{a-1}$
et enfin :$\frac{(b - az_n+ z_n)(a^k- 1)}{a - 1}=0$
Je suis parti du principe que a ne pouvait pas être égal à 1 car sinon ce serait une suite arithmétique et donc pas périodique et donc que $a^k - 1 =/= 0$. J'ai donc trouvé une jolie équation qui me permet de trouver de très belles suites de période 1 (donc constantes) : $(1 - a)z_n=b$
Mais je suis bloqué là. Je pense qu'il faut que je prenne en compte que ce sont des nombres complexes et que donc $a^k- 1$ peut être égal à 0 même si $a =/= 1$.
Voilà ma démarche, qu'en pensez-vous, et auriez-vous des conseils et/ou astuces pour moi ?

Chaurien · December 2015

Commence par $b=0$ puis ramène-toi à ce cas au moyen du point fixe que tu as trouvé.

Ivanoe · January 2016

Désolé, mais je ne comprends pas bien ce que vous essayez de m'expliquer...

zephir · January 2016

Bonsoir,
Il y a bien un $c\in\C$ tel que $c=ac+b$. Si l'on pose alors $y_n=z_n-c$ quelle relation est vérifiée par la suite $(y_n)$ ?
Il ne reste plus qu'à terminer le calcul.

Ivanoe · January 2016

Donc $(y-n)$ est géométrique donc de type $y_n=a^n*y_0$ donc $y_{n+k}=y_n$ si $a^k=1$ et $(z_n)$ sera periodique si $a^k=1$ avec k la période.
Ok merci beaucoup de ton aide Zephir, et Chaurien je serais intéressé par ce que tu voulais m'expliquer..

christophe c · January 2016

C'est fait, c'est Zephir qui t'a répondu ce que chaurien voulait te dire: si $u+k$ est périodique alors $u$ est périodique et réciproquement. Or comme $\forall a\neq 1,b,c: u:=[n+1\mapsto au_n+b;0\mapsto c ] \exists k: u+k$ géométrique de raison $a$ et que tu sais trouver ce $k$, la connaissance des suites géométriques et périodiques te suffit pour accéder à ton désir.