n! < ((n+1)/2)^n

Remarquons que l'inégalité que tu nous soumets ci-dessus n'est pas celle que tu annonces dans le titre de ta demande :
Titre : $ n!<(n+\frac 1 2)^n $
Message : $n!<\left( \dfrac { n+1}2 \right)^n $

Voudrais-tu, s'il te plaît, confirmer que tu cherches bien à démontrer la deuxième inégalité ?
Et puis voudrais-tu nous dire ce que tu as déjà essayé, par exemple pour initialiser ta récurrence ? Que peux-tu remarquer ?

Une étape utile pour ta récurrence pourrait être celle-là :
Montrer que $\forall n\in \mathbb N^*\; \left ( \dfrac { n+1}n\right)^n\geqslant 2$
(pas forcément par récurrence )

Hello
We have $$n\sqrt[n]{n!}< \frac{n(n+1)}{2} \Rightarrow \sqrt[n]{n!}< \frac{n+1}{2}$$ AM-GM

$$\Rightarrow n!< \left ( \frac{n+1}{2} \right )^{n}$$

Propriétés voisines.
Pour $n\geq 7$ on a : $ n! < \left ( \frac{n}{2} \right )^{n} $.
Pour $n\geq 1$ on a : $ n! > \left ( \frac{n+1}{3} \right )^{n} $.
Démonstrations élémentaires.