Une série pour commencer l'année

Chaurien · January 2016

J'ai déjà évoqué la série de terme général : $\displaystyle w_{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{(-1)^{k}\pi ^{2k+1}}{(2k+1)!}, n \in \mathbb{N}$.
Je vous la pose à nouveau : convergence de la série et calcul de la somme $ \displaystyle S=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}w_{n}$?

Bien cordialement.
F. Ch.

NB. Je trouve $S=\frac{\pi}{2}$

Guego · January 2016

D'après la formule de Taylor avec reste intégral (ou par récurrence), on a $w_n = \displaystyle \int_0^{\pi} \dfrac{(-1)^n t^{2n+1}}{(2n+1)!} \sin(t)dt$.
En permutant série et intégrale, on on en déduit que $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} w_n = \int_0^{\pi}\sin(t)\sin(t)dt$, ce qui donne bien $\dfrac{\pi}{2}$.

noix de totos · January 2016

La convergence de la série ne me semble pas poser de problème, via la série entière de sinus et de la formule de Stirling qui permettent d'écrire $|w_n| \ll n^{-2}$ pour $n$ assez grand.

Quant à la somme, en intervertissant les symboles de sommation, opération permise par l'absolue convergence de la série, il vient
$$S = -\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{(-1)^k \pi^{2k+1}}{(2k+1)!} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \pi^{2k+1}}{(2k+1)!} \sum_{n=0}^{k-1} 1 = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k k \, \pi^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{-1}{2} \left( \pi \cos \pi- \sin \pi \right) = \frac{\pi}{2}$$
de sorte que je trouve comme toi.

Jer anonyme · January 2016

Avec \[u_k(t)=\frac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)!}t^{2k+1},
\] on a : $w_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(\pi)$ puisque $\sin\pi=0$. On pose \[
W_n(t)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(t).
\] La convergence de $\sum W_n(t)$ est justifiée pour $t\ge0$ par le critère spécial des séries alternées ($|W_n(t)|\le|u_k(t)|$) et la formule de Stirling et cela permet d'intervertir : \[
S(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}W_n(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}ku_k(t),
\] d'où \[
2S(t)+W_0(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}(2k+1)u_k(t)=-t\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}t^{2k},
\] soit \[2S(t)-\sin t=-t\cos t\] et $S(\pi)=\frac\pi2$.

noix de totos · January 2016

J'ai corrigé mon oubli d'un signe "moins".

Chaurien · January 2016

En fait, cette somme $w_n$ est l'opposé d'un reste car : $\displaystyle w_n=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}(-1)^{k}\frac{\pi ^{2k+1}}{(2k+1)!}=-\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}(-1)^{k}\frac{\pi ^{2k+1}}{(2k+1)!}$.

Quand une série de terme général $u_n$ (réel ou complexe) est convergente, elle a un reste, qui est $ \displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$.
Cette suite $R_n$ tend vers $ 0$, c'est une bonne candidate pour être à son tour, peut-être, le terme général d'une série convergente.
Quoiqu'il en soit, elle vérifie toujours l'identité : $ \displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}ku_{k}+nR_{n}$.

Prenons l'exemple de la série sinus, de terme général : $ \displaystyle u_{n}=(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$, d'où : $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}(-1)^{k}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$ .
Une majoration géométrique montre que : $ \displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }nR_{n}=0$. De plus, la série de terme général $nu_n$ est à l'évidence absolument convergente.
Il résulte de l'identité précédente que la série de terme général $\displaystyle R_{n}$ est convergente et que : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$.
Une linéarisation de rien du tout montre que cette dernière somme vaut : $\displaystyle \frac{1}{2}(z\cos z-\sin z)$.
Pour $z:=\pi$ on trouve $-\frac{\pi }{2}$, et la somme demandée est l'opposé.

Cette sommation de restes a une certaine importance en Calcul des Probabilités : pour les variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$, elle permet d'établir des relations utiles entre l'antirépartition, l'espérance et la variance.

Bonne soirée.
F. Ch.

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