Bonjour tous le monde,
J'ai du mal avec l'exercice suivant, quelle est la méthode pour y répondre s'il vous plait.
Montrer que si $E$ est un ensemble mesurable de mesure $> 0$ dans $\mathbb R^n$ alors l’ensemble $E-E=\{ x-y \mid x \in E,\ y \in E \} $ contient un voisinage ouvert de l’origine. Indication : considérer le produit de convolution $1_E * 1_{-E} $ , où $-E$ est l’ensemble des $-x$ avec $x$ dans $E$.
Merci.
[Restons dans la même discussion pour tes questions sur les mesures. AD]
C'est un très bel exercice, très classique. Raisonne d'abord intuitivement, puis traduis ton intuition.
Quelques indices:
1) Fais-le en dimension 1 et et sur l'intervalle $[0;1]$
2) Avec un ensemble de mesure $>0.9$.
3) Soit $e$ très petit. Que penses-tu de $A$ et de $A+e:=\{x\mid x-e\in A\}$
Tu te sentiras mieux après pour poursuivre.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@gebrane: voisinage de $0$, pas juste "contient un ouvert". Le produit de convolution donne d'ailleurs que pour tous A,B (donc pas seulement $B=(-A)$ de mesures non nulles, $A-B$ contient un ouvert.
(Bof, et puis c'est tricher que d'utiliser des kalach pour ça)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Non, pas le gars. Mais "nous" si on lui fait des suggestions... L'indication tue l'exo de toute façon (il devient un exo de rédaction). Enfin non remarque, faut montrer que $0$ est dans l'intérieur.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@Cyrano "tarabiscoté" non, mais videur de sève oui. Le produit de convolution des fonctions $1_A,1_B$ donne une fonction continue non nulle, donc $A+B$ est d'intérieur non vide (sous les hypothèse que $A,B$ blabla). Mais je suis comme toi, je préfère un argument sans background (il n'est pas très long non plus).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour moi la convolution a un effet régularisant,( je tiens cette phrase de Remarque) donc si on convolues les indicatrices d'ensembles mesurables , il y a chance que le résultat soit continue
Réponses
J'ai du mal avec l'exercice suivant, quelle est la méthode pour y répondre s'il vous plait.
Montrer que si $E$ est un ensemble mesurable de mesure $> 0$ dans $\mathbb R^n$ alors l’ensemble $E-E=\{ x-y \mid x \in E,\ y \in E \} $ contient un voisinage ouvert de l’origine.
Indication : considérer le produit de convolution $1_E * 1_{-E} $ , où $-E$ est l’ensemble des $-x$ avec $x$ dans $E$.
Merci.
[Restons dans la même discussion pour tes questions sur les mesures. AD]
Quelques indices:
1) Fais-le en dimension 1 et et sur l'intervalle $[0;1]$
2) Avec un ensemble de mesure $>0.9$.
3) Soit $e$ très petit. Que penses-tu de $A$ et de $A+e:=\{x\mid x-e\in A\}$
Tu te sentiras mieux après pour poursuivre.
(Bof, et puis c'est tricher que d'utiliser des kalach pour ça)
Indice : Il faut utiliser la régularité de la mesure de Lebesgue.
Si $x$ est superproche de $a$ alors
$\int f(x-t) g(t) dt-\int f(a-t)g(t)dt = \int (f(x-t) - f(a-t)) g(t) dt = $
$\int (f((a-t) +e) - f(a-t)) g(t) dt $ où $x=a+e$.
C'est $\leq \int (f((a-t)+e) - f(a-t) )1_{Grosbidule} dt =$
$ \int f(a-t + e)1_{Grosbidule}dt - \int f(a-t)1_{Grosbidule}dt = $
$\int f(a-t)1_{Grosbidule+e}dt - \int f(a-t)1_{Grosbidule}dt \leq \int 1_{Grosbidule+e}dt - \int 1_{Grosbidule} \leq |e|\times largeurdegrosbidule$
vive la convolution