limite en un point

Pour moi c'est la première définition qui est la bonne. Je ne sais pas pourquoi ce débat refait surface ces dernières années, à croire que ça pose problème que si la fonction a une limite, elle est automatiquement continue en ce point... C'est un peu ce qu'on attend d'une fonction continue, non ?

Je ne connais que la première définition.

Bonjour Gebrane.

La deuxième définition est celle de la "limite épointée", et on n'en a pas vraiment besoin, puisque ça correspond à la limite de la restriction de f à $\mathcal D_f -\{x_0\}$.
Il manque d'ailleurs dans ta première définition une référence au domaine de définition de f, à son ensemble de départ en tant qu'application d'une partie de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ (ou $\mathbb C$).

Cordialement.

La définition de limite à droite, c'est pour $x\geq 0$ (supérieur OU EGAL à 0), donc la limite à droite c'est pas $0$ !

Si je ne m'abuse, la définition de $f$ admet $l$ comme limite finie à gauche de $x_{0}$ est \[\forall\,\epsilon>0,\exists\,\delta>0:\forall x\in\text{ dom } f: x<x_{0},\, x_{0}-x<\delta\implies \vert f(x) -l\vert<\epsilon\] et $f$ admet $r$ comme limite finie à droite de $x_{0}$ est \[\forall\,\epsilon>0,\exists\,\delta>0:\forall x\in\text{ dom } f:x>x_{0},\, x-x_{0}<\delta\implies \vert f(x) -r\vert<\epsilon\] Il est alors clair que la limite à gauche de $x_{0}$, de même qu'à droite est $0$. Or la fonction vaut $1$ en $f(0)$. Donc, si l'on prend comme définition de la continuité d'une fonction réelle sur $\mathbb{R}$ la suivante: "$f$ est continue en un point $x_{0}$ de son domaine si la limite $\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ existe, est finie et est égale à la valeur de la fonction en ce point", alors tout va bien et notre fonction est discontinue, comme attendu.

EDIT: concernant la limite de la composée. Le théorème nous dit que si $\lim_{x\to x_{0}}g(x) = l_{g}$ et si $\lim_{x\to l_{g}}f(x) = l_f$, alors $\lim_{x\to x_{0}}f(g(x))=l_{f}$ et si $f$ n'est pas continue, il n'y a aucune raison que $\lim_{x\to x_{0}}f(g(x))=f(\lim_{x\to x_{0}}g(x))$ en général.
EDIT2: correction de l'oubli pointé par christophe du "$\forall$"

Oui, c'est équivalent. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de domaine ouvert $\Omega$ et continue en $x_{0}\in\Omega$. Alors, par définition de la continuité \[\forall\epsilon>0,\exists\eta_{\epsilon}>0:\forall x\in\Omega:\vert x-x_{0}\vert<\eta_{\epsilon}\implies \vert f(x)-f(x_{0})\vert<\epsilon\] ce qui correspond aussi au fait que $\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$. Par unicité de la limite dans un espace séparé, si $f$ admet une limite $l$ en $x_{0}$, cette limite vaut $f(x_{0})$.
À l'inverse, supposons que $f$ possède une limite $l$ en $x_{0}\in\Omega$. Alors, \[\forall\epsilon>0,\exists\eta_{\epsilon}>0:\forall x\in\Omega:\vert x-x_{0}\vert<\eta_{\epsilon}\implies \vert f(x)-l\vert<\epsilon\]
Or, $\epsilon>\vert f(x)-l\vert \geq \vert f(x_{0})-l\vert - \vert f(x)-f(x_{0})\vert$ et donc pour tout $\epsilon>0$ et pour tout $x\in\Omega$ tel que $\vert x-x_{0}\vert<\eta_{\epsilon}$, on a $\vert f(x_{0})-l\vert < \epsilon+\vert f(x)-f(x_{0})\vert$ Donc en particulier, pour $x=x_{0}$, $\vert f(x_{0})-l\vert<\epsilon$ et ce, pour tout $\epsilon>0$. Donc $f(x_{0})=l$ et $f$ est continue.
EDIT: même pas besoin de faire ça, il suffit de prendre $x_{0}$ directement dans la définition de $\lim_{x\to x_{0}}f(x)=l$ vu que $x_{0}\in\Omega$ (et que n'importe quel $\eta_{\epsilon}>0$ convient pour $\vert x-x_{0}\vert<\eta_{\epsilon}$ lorsque $x=x_{0}$, donc en particulier il en existe un), ce qui donne \[\forall\epsilon>0:\vert f(x_{0})-l\vert<\epsilon\] et donc $f(x_{0})=l$, donc $f$ continue.

Je ne sais pas, mais moralement qu'une fonction ayant une limite à droite et à gauche ne soit pas continue en un point, ça me chagrinerait un peu.

joue ce rôle à la perfection et jusqu'au bout et corrige nous, on ne demande que ca

Je le joue en te disant: "tu peux trouver seul avec un effort et (si tu n'as pas fait une simple coquille), ça t'aidera plus que si je te le dis"

Il s'agit de mieux préciser la notion de limite suivant une partie $A\subset \mathrm{dom}(f)$ avec $x_0\in \overline{A}$ (ou $\overline{A}$ est l'adhérence de $A$), et on peut alors utiliser la forme non épointée, sans pour autant impliquer la continuité en $x_0$. C'est la définition "normale", si je ne m'abuse ...

Voir par exemple ici, ou c'est rigoureusement écrit
(Chapitre 5 Topologie des espaces métriques 5.4 Limites de fonctions 5.4.1 Notion de limite suivant une partie) [clique sur la couv du bouquin, puis plan]

à ce que je vois tu n'as pas corrigé (gebrane; mobius). Bon, par pitié pour les visiteurs du fil***, remplacez
$$Blabla (...x...x...x)$$
par
$$Blabla \forall x\in Truc: (...x...x...x)$$

Vous avez oublié le $\forall x$ en troisième position, du coup, vos définitions sont gravement fausses (et ne correspondent pas à ce que vous voulez dire en plus)

*** on n'arrête pas chaque année de croiser de centaines de jeunes (pourtant motivés) qui se font enfoncer à cause de ces fautes (eux "croient" à ces énormités et travaillent avec, puis attérissent épleurés bien plus tard sur les forums, complètement découragés)

Merci pour l'erreur christophe.
Intéressant la notion de convergence selon des filtres. Quelqu'un sait-il pourquoi cette approche (avec des filtres) n'est pas systématique dans l'enseignement supérieur?

Merci pour ta réponse remarque, mais je parlais d'une approche avec les filtres dans des contextes plus généraux (on ne m'a jamais parlé de filtres dans un cours). Est-ce propre à la tradition française, historiquement?