Métrique à symétrie sphérique

Bonsoir,

Je désirerais mieux comprendre la démonstration du théorème de Birkhoff (les solutions de l'équations d'Einstein dans le vide à symétrie sphérique sont les métriques de Schwarzschild). Mais presque toutes les démonstrations que j'ai trouvées commencent en supposant que la métrique a déjà une forme sympathique. D'autres expliquent comment y arriver mais admettent un résultat que je ne sais pas démontrer.
page 65: http://d.umn.edu/~vvanchur/2013PHYS5551/Chapter5.pdf

Si je comprends bien, il s'agit de montrer que si une variété pseudo-Riemannienne de dimension $n$ admet un feuilletage composé de sous-variétés de dimension $m$ (et "maximally symmetric") alors la métrique est de la forme (il existe une carte tel que la métrique soit de la forme) $$ ds^2=g_{IJ}(v)dv_Idv_J +f(v)h_{ij}(u)du_idu_j $$ où $(u_i)$ avec $i \in \{1,\ldots,m\}$ et $(v_I)$ avec $I \in \{1,\ldots,n-m\}$

Quelqu'un connaîtrait-il une référence ? (celles que j'ai trouvé font ça de manière heuristique et sont très peu détaillées).
Merci.