Équa diff du 1er ordre

Benoit
Benoit
dans Analyse
Bonjour,
J'ai un peu honte, ça ne m'a pas l'air difficile mais j'ai un exercice dont je ne suis vraiment pas convaincu de mon résultat.
Il faut juste trouver u(t) quand on a u(t) + u'(t) = t et condition initiale u(0) = 1.

Comme je suis en mode autodidacte, j'ai trouvé plusieurs méthodes sur le web dont une qui me fait passer par une IPP et qui me donne le résultat suivant. $$u(x) = \exp(-t) + \exp(-1) +(t-1)\exp(t-1) $$
Je doute fortement de ce résultat qui m'a l'air bien complexe par rapport au problème posé.
Quelqu'un pourrait-il, svp, me confirmer ou infirmer mon résultat ?
Merci d'avance.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Si tu multiplie ton eq par $e^t$ tu tombes sur $$(e^tu)'=te^t$$
    tu intègres cette equation !!
    Le 😄 Farceur


  • Alannaria
    Alannaria
    Une méthode systématique existe pour la résolution d'équations différentielle du premier et du second ordre :
    (E) : y'+ ay = b, avec a qui est a priori une fonction

    1. Résous l'équation homogène (H) : y'+ ay =0 soit u0(t) = K exp(-A(t)) avec K constant.
    2. Cherche une solution particulière de (E) : u1(t)
    3. Les solutions de (E) sont la somme des solutions de (H) avec la solution particulière.
    La solution générale de (E) est : u(t) = u0(t) + u1(t)
  • Benoit
    Benoit
    Merci gebrane0, mais je suis certainement très aveugle... :) car:

    1. si je multiplie par exp(t), cela me donne:
    exp(t).u(t) + (exp(t).u)' = exp(t).t

    Que fais-tu du exp(t).u(t) qui disparait dans ta simplification ?

    2. Si j'integre ce que tu me mets, il faut une IPP aussi, non ? Or pour réaliser une IPP, d'apres sa définition, il faut que je sois continu sur un intervalle défini, non ?

    Je suis vraiment à l'ouest... 8-)
  • Benoit
    Benoit
    Merci Alannaria, j'ai aussi essayé cette solution:

    Or j'en reviens à la meme problemematique que gebrane me pose à savoir trouver une intégrale de t.exp(t) pour ton point 2...

    Et la je ne peux pas faire d'IPP sans bornage, non ?
  • Alannaria
    Alannaria
    Un produit de 2 fonctions usuelles donc [size=medium]une IPP[/size] aide à s'en sortir. Sinon, savoir qu'une primitive est de la forme : $(at+b)e^t$ ??
  • Benoit
    Benoit
    Merci Alannaria pour ta patience :-D

    Chercher une primitive par IPP sans bornage, voila mon soucis. La définition d'une IPP nécessite que l 'on ait un espace d'intégration défini, non??
    Impossible d'intégrer exp(x) sur +/- infini ?

    JE suis perdu... :-S
  • gebrane
    gebrane
    une primitive par IPP sans bornage
    [size=x-large][size=x-large]$$\int u'v=uv-\int uv'$$[/size][/size]
    Le 😄 Farceur


  • Benoit
    Benoit
    Merci (:P)

    Ma définition de cours prend toujours un bornage... :) Et comme j'ai du mal a voir plus loin que le bout de mon nez !!

    Merci a tous les deux, sujets clos.
  • ev
    ev
    Pas clos à mon humble avis :

    Regarde bien $u(t) + u'(t) = t$. Tu ne vois pas une solution (particulière) évidente ? Sûr ?
    Indication : tu n'as pas le droit au crayon !

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Benoit
    Benoit
    euh... u(t) = t - 1 ?? 8-)

    sans crayon ca marche pas mal dis donc !
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