Je souhaiterais calculer une primitive de $e^{2x}\sin x$
J'ai réussi à avoir le résultat via ma calculatrice, cependant je n'ai pas le détail du calcule et je n'arrive pas à retomber sur le même résultat !
Merci
Quand on dérive ou intègre $x \to e^{2x}$, l'exponentielle ne disparaît pas. On peut chercher une primitive de la fonction $f: x \to e^{2x} \sin x$ sous la forme d'une fonction $x \to F(x) = e^{2x} u(x)$ où on doit trouver la fonction $u$.
Dérive $F$ et identifie les termes car on a $F' = f.$
Si $w$ est un complexe, une primitive de $e^{wx}$ est $e^{wx}/w$ ; en particulier si $w=2+i$ une primitive est $\frac{2-i}{5}e^{2x}(\cos x+i \sin x)
$ dont la partie imaginaire est une primitive de $e^{2x}\sin x$ qui est egale à $ \frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x -\cos x)$.
from sympy import *
x=symbols('x')
integrate(exp(2*x)*sin(x),x)
donne le résultat:
2*exp(2*x)*sin(x)/5 - exp(2*x)*cos(x)/5
Ceci dit, un peu d'intégration par parties fonctionne, ou alors la recherche d'une primitive de la forme $e^{2x}\left(\alpha\cos(x)+\beta\sin(x)\right)$ et identification.
Je t'ai envoyé sur une fausse piste. Ce que j'avais en tête :
$r_1 = 2+i$ et $r_2 = 2-i$ sont les racines de l'équation caractéristique $r^2 - 4r + 5$.
Donc $f$ est solution sur $\R$ de $y''-4y'+5y = 0$.
Maintenant, la fonction $F$ définie par $f' - 4f + 5F = 0$ est une primitive de $f$.
Le calcul de la primitive de $e^{ax}\sin bx$ est très classique.
1. Si l'on ne veut pas sortir de $\mathbb{R}$ on fait deux IPP au terme de quoi l'intégrale qu'on cherche apparaît simultanément dans les deux membres avec des coefficients différents.
2. Si l'on s'autorise l'usage des complexes, plutôt que d'utiliser les formules d'Euler, il me semble plus simple de considérer que la fonction en question est la partie imaginaire de $e^{(a+bi)x}$, ainsi on a une seule fonction à primitiver au lieu de la somme de deux. Et l'on a pour le même prix la primitive de $e^{ax}\cos bx$.
Cette seconde méthode s'applique très bien à $P(x) e^{ax}\sin bx$ où $P$ est un polynôme.
Bonne journée.
F. Ch.
Si $w$ est un complexe, une primitive de $e^{wx}$ est $e^{wx}/w$
est un très bon exercice non trivial niveau Terminale, cela revient à prouver que $(e^{wx})'=we^{wx}$ avec comme definition : la derivée d'une fonction de $\R$ à valeurs dans $\C$ , $f=g+ih$ est $f'=g'+ih'$
ev : l'idée de l'équa diff n'est pas mauvaise : puisque $f''-4f'+5f=0$, on a $f = \dfrac{1}{5}(4f'-f'')$. On en déduit que $\dfrac{1}{5}(4f-f')$ est une primitive de $f$.
Oui c'est ce qui me semblait, tu utilisais l'équation caractéristique de l'équation différentielle sans second membre. Je suis parti en « live » mais j'avais bien vu ce que tu ciblais.
Réponses
Quand on dérive ou intègre $x \to e^{2x}$, l'exponentielle ne disparaît pas. On peut chercher une primitive de la fonction $f: x \to e^{2x} \sin x$ sous la forme d'une fonction $x \to F(x) = e^{2x} u(x)$ où on doit trouver la fonction $u$.
Dérive $F$ et identifie les termes car on a $F' = f.$
1) Double intégration par parties.
2) $\sin(x) = \dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ et on se ramène à intégrer des exponentielles.
$ dont la partie imaginaire est une primitive de $e^{2x}\sin x$ qui est egale à $ \frac{1}{5}e^{2x}(2\sin x -\cos x)$.
Si tu as bien compris, est ce que tu peux donner une primitive de [size=x-large]$$xe^{2x}sin(x)$$[/size]
Connais-tu une équation différentielle simple du second ordre vérifiée par ta fonction ?
e.v.
$f:x\mapsto e^{2x}\sin(x)$,
$f':x\mapsto e^{2x}(2\sin{x}+\cos(x))$,
$f'':x\mapsto 2f'(x)-f(x)+2e^{2x}\cos(x)$.
Par conséquent, $f''(x)-2f'(x)+f(x)=2e^{2x}\cos(x)$ est une équation différentielle du second ordre qui est vérifiée par $f(x)$. Non ?
donne le résultat:
Ceci dit, un peu d'intégration par parties fonctionne, ou alors la recherche d'une primitive de la forme $e^{2x}\left(\alpha\cos(x)+\beta\sin(x)\right)$ et identification.
Cordialement,
Rescassol
Je t'ai envoyé sur une fausse piste. Ce que j'avais en tête :
$r_1 = 2+i$ et $r_2 = 2-i$ sont les racines de l'équation caractéristique $r^2 - 4r + 5$.
Donc $f$ est solution sur $\R$ de $y''-4y'+5y = 0$.
Maintenant, la fonction $F$ définie par $f' - 4f + 5F = 0$ est une primitive de $f$.
amicalement,
e.v.
1. Si l'on ne veut pas sortir de $\mathbb{R}$ on fait deux IPP au terme de quoi l'intégrale qu'on cherche apparaît simultanément dans les deux membres avec des coefficients différents.
2. Si l'on s'autorise l'usage des complexes, plutôt que d'utiliser les formules d'Euler, il me semble plus simple de considérer que la fonction en question est la partie imaginaire de $e^{(a+bi)x}$, ainsi on a une seule fonction à primitiver au lieu de la somme de deux. Et l'on a pour le même prix la primitive de $e^{ax}\cos bx$.
Cette seconde méthode s'applique très bien à $P(x) e^{ax}\sin bx$ où $P$ est un polynôme.
Bonne journée.
F. Ch.
n'est pas passé inaperçu, quitte à "acheter" un tuyau, autant acheter le bon, parce que les usines à gaz...