Limite d'une intégrale à paramètre
Bonjour,
J'ai un petit problème qui n'est peut être pas très intéressant, mais je bute dessus depuis un certain moment et je viens vers vous pour savoir si vous auriez éventuellement quelques indications !
Mon problème est d'essayer de passer à la limite dans une intégrale à paramètres, mais je n'ai a priori pas d'hypothèse de domination pour l'intégrande. Pour être un peu plus clair, savez-vous si pour toute fonction $g \in L^2([0,1]\times[0,1])$, on a $$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \int_{0}^{x} g(t+1-x,t) \ \mathrm{d}t = 0 \ \ ?$$
J'ai essayé de construire un contre-exemple à l'aide de fonctions $g$ qui "explosent" au voisinage du point $(1,0)$ (notamment avec des inverses de racines) mais je n'ai malheureusement pas abouti. Si vous avez des idées je suis preneur :-)
Merci pour votre aide !
J'ai un petit problème qui n'est peut être pas très intéressant, mais je bute dessus depuis un certain moment et je viens vers vous pour savoir si vous auriez éventuellement quelques indications !
Mon problème est d'essayer de passer à la limite dans une intégrale à paramètres, mais je n'ai a priori pas d'hypothèse de domination pour l'intégrande. Pour être un peu plus clair, savez-vous si pour toute fonction $g \in L^2([0,1]\times[0,1])$, on a $$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \int_{0}^{x} g(t+1-x,t) \ \mathrm{d}t = 0 \ \ ?$$
J'ai essayé de construire un contre-exemple à l'aide de fonctions $g$ qui "explosent" au voisinage du point $(1,0)$ (notamment avec des inverses de racines) mais je n'ai malheureusement pas abouti. Si vous avez des idées je suis preneur :-)
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Réponses
Effectivement c'est plié, merci beaucoup !
Si $g \in L^1([0,1]\times[0,1])$ seulement, il n'est pas vraie que $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \int_{0}^{x} g(t+1-x,t) \ \mathrm{d}t = 0 \ \ ?$$
$$| \int_{0}^{x} 1.g(t+1-x,t) \ \mathrm{d}t |^2\leq (\int_{0}^{x} 1^2dt )(\int_{0}^{x} |g(t+1-x,t)|^2 \ \mathrm{d}t )=x.\int_{0}^{x} |g(t+1-x,t)|^2 \ \mathrm{d}t$$
EDIT Ce que je racontais est délirant car si x assez petit par exemple $x< \frac 13$, alors pour $t\in[0,x]$ on a $x+t<\frac 23$, d'où $t+x-1<0$ et on sort de $[0,1]$
Je crois que tu as fait une petite erreur de signe, tu as considéré $t + x - 1$ au lieu de $t + 1 - x$ ;-) pour $x$ assez petit (disons entre $0$ et $1$) cette dernière quantité est bien entre $0$ et $1$
une fois j'ai eu un 0 (partie d'un sujet) car j'ai copié mal l'ennocé
Que dois-je chercher dans Google pour comprendre la notation $g \in L^2 ([0,1] \times [0,1])$ ?
Je trouve également que la méthode proposée par Cauchy-Schwarz ne permet pas de conclure, mais j'ai besoin de la définition précise...
Cette seule donnée $\displaystyle g \in L^2 ([0,1] \times [0,1] )$ ne me permet pas de conclure l'existence de $x \mapsto \displaystyle \int_{0}^{x} g(t+1-x,t)dt$ pour tout $x$ réel tel que $0 \leq x \leq 1$.
Comment a-t-on l'existence ?
"Moralement", la restriction de $g$ à un segment inclus dans le carré me semble être intégrable sur le dit segment, mais effectivement je ne sais pas trop comment le vérifier (et du coup c'est peut être faux). Il me semble clair que l'intégrale de $g$ sur un sous-ensemble $\omega \subset [0,1] \times [0,1]$ de mesure de Lebesgue non-nulle soit finie (mesure de Lebesgue dans $\mathbb{R}^2$), et qu'on a même
$$ \displaystyle \int_{\omega} |g(x,y)| \mathrm{d}x \mathrm{d}y \le \displaystyle \int_{[0,1] \times [0,1]} |g(x,y)| \mathrm{d}x \mathrm{d}y,$$
mais si $\omega$ est par exemple un segment je ne vois pas trop comment l'écrire :-(
J'espère ne pas avoir écrit trop de bêtises.
Tu peux nous expliquer l'origine de cette question? un exercice ou une question que tu t'es posé?
En fait c'est dans le cadre de ma thèse, si la limite s'avère être toujours nulle alors j'ai un raisonnement par l'absurde qui aboutirait et j'en serais très heureux, je n'oublierai bien évidemment pas de tous vous citer en remerciements :-D
Merci, et du coup désolé pour le cafouillage, j'ai travaillé à partir d'un article qui ne précisait pas trop les espaces. L'intégrale aurait peut être un peu plus de sens si je considère plutôt $g$ dans $L^2([0,1], L^2([0,1]))$ ? (au sens où pour tout $t \in [0,1]$, $g(t, \cdot)$ est dans $L^2([0,1])$ et $t \to \|g(t, \cdot)\|_2$ est aussi dans $L^2([0,1])$).