intégrale

Bonsoir,

les deux écritures sont différentes. Les nombres
$$\displaystyle\int_{-\infty}^0 \log|x| dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \log|x| dx \qquad \textrm{ et } \qquad \lim_{\epsilon \to 0}\left [\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log|x|\,\mathrm dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x|\,\mathrm dx\right]$$
sont égaux.

e.v.

@ zéphir.

Ah oui, $+\infty$, comme nombre, c'est pas ça. Merci, on coupera au montage !

amicalement,

e.v.

Tu n'en as pas marre de faire des calculs avec des intégrales divergentes ? C'est quand même assez inquiétant que tu en écrives à quasiment chacun de tes posts sans t'en apercevoir.

Bonjour @devil,

Non. Les intégrales écrites sont divergentes. Les quatre sont divergentes. Le $\epsilon$ ne pourrait servir qu'à éviter une divergence en $0$, mais elle convergent en $0$ (donc le $\epsilon$ ne sert à rien) et elle diverge en $\pm \infty.$

Donc on oublie tout ça et on en reparle une autre fois quand tu as le temps d'ouvrir les yeux sur ces intégrales.

$\int \ln|x| dx = x \ln|x| -x + \text{constante}$ et elle converge en $0$, mais diverge en $+\infty.$

devil : la fonction logarithme népérien, que tu notes $\ln$, n'est pas intégrable en $+\infty$. Les intégrales que tu écris valent $+\infty$. Est-ce que tu t'en rends compte au moins ?

La limite en $\epsilon$ est quelque chose de secondaire ici.

Si c'est ça ta question, la réponse est : ça n'apporte absolument rien de plus.

Mais mec, sérieusement ? Ca n'a plus rien à voir, car ici $\varphi$ est à support compact et donc $\ln$ est intégrable sur tout le domaine...

L'intérêt d'écrire $\langle T,\varphi\rangle$ comme une limite quand $\epsilon$ tend vers $0$ permet de ne considérer que des intégrales de fonctions $C^1$ (et même $C^\infty$) sur un segment, ce qui permet d'utiliser l'intégration par parties (qui, je le rappelle, n'est vraie a priori que si les fonctions sont $C^1$ sur le segment d'intégration).

Avant que tu ne poses la question, $\ln$ n'est pas $C^1$ en $0$, mais elle l'est sur tout $[\epsilon, +\infty[$ avec $\epsilon >0$.

Parce que $ x $ est dérivable en zéro ?

Bonjour @devil,

Il ne faut pas confondre la fonction $\displaystyle f: x \mapsto ln|x|$ définie pour tout $x$ réel strictement positif, continue et dérivable sur son domaine et la distribution régulière $T$ dans l'ensemble des distributions $\displaystyle D'(\R)$ associée à la fonction localement intégrable $\displaystyle f \in L^1_{loc}(\R).$

On peut associer à toute fonction $f$ localement intégrable une distribution dite régulière, notée $\displaystyle T_f$ et on a, pour toute fonction test $\displaystyle \varphi$ dans l'ensemble des fonctions test $D(\R)$ (indéfiniment dérivables et à support borné) : $\displaystyle <T_f,\varphi> = \int_{\R} f(x) \varphi(x)dx.$

La réciproque est fausse, on ne peut pas associer à toute distribution une fonction localement intégrable.

Donc :
- tu as démontré que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto ln|x|$ est localement intégrable sur $\R$. Le problème en $0$ n'existe pas car $\displaystyle x \ln |x| \to 0$ quand $\displaystyle x \to 0$ ;
- tu peux donc définir la distribution régulière $\displaystyle T_f$ définie par : $\displaystyle <T_{\ln|x|},\varphi> = \int_{\R} \ln|x| \varphi(x)dx.$
Les matheux disent : l'application linéaire (continue) de $\displaystyle f \in L^1_{loc}(\R)$ dans $D'(\R)$ étant injective, on peut confondre $f$ et $T_f$. Moi je dis : cette distribution est notée, pour aller plus vite $\displaystyle <T_{\ln|x|},\varphi> = <\ln|x|, \varphi>.$ Il ne peut pas y avoir de confusion car il est clair, dans cette écriture, qu'il s'agit d'une distribution.
- l'exercice est alors de déterminer la dérivée de cette distribution...

Et tu as démontré que $\displaystyle <(\ln|x|)', \varphi> = <vp(\frac{1}{x}),\varphi>$ pour toute fonction test $\displaystyle \varphi$ : donc $\displaystyle (\ln|x|)' = vp(\frac{1}{x})$. Des fois, on dit que cette égalité est "au sens des distributions" pour insister qu'il s'agit de distributions et non pas de fonctions.

Enfin, dans la démonstration on tombe sur des intégrales :
$\displaystyle <(\ln|x|)', \varphi> =-<\ln|x|,\varphi'> = -\int_{\R} \ln|x| \varphi'(x)dx$, par définition de la dérivée d'une distribution et car $\varphi'$ est aussi une fonction test...
Puis on veut intégrer par partie. On travaille sur $[-R, R]$ avec $R >0$ avant de passer à la limite, et on se débarrase du problème en $0$ avec $\epsilon >0$ :
$\displaystyle \int_{-R}^{+R} \ln|x| \varphi'(x)dx = \ln|x| (\varphi(x) + \text{constante})\mid_{-R}^{+R} - \int_{-R}^{+R} \frac{1}{x} (\varphi(x) + \text{constante})dx$
et là, on ne peut pas choisir la constante nulle, comme on fait très souvent. En effet, en $0$ on a $\displaystyle \ln|x| \varphi(x) \sim \ln|x| \varphi(0)$ qui diverge. Il faut donc s'en occuper proprement. Il suffit de choisir $\displaystyle \text{constante} = -\varphi(0)$ ; en effet, $\varphi(x) = \varphi(0) + x \psi(x)$ où $x \mapsto \psi(x)$ est bornée. Et avec ce choix, on a bien : $\displaystyle \ln|x| (\varphi(x)-\varphi(0)) \sim \ln|x|x \psi(x) \to 0$ quand $x \to 0.$ Le premier terme est donc nul. Bien sûr, en $\pm \infty$, on a $0$ car les fonctions tests sont nulles en dehors d'un support borné.
On a donc :
$\displaystyle \int_{-R}^{+R} \ln|x| \varphi'(x)dx = \int_{-R}^{+R} \frac{\varphi(x) - \varphi(0) }{x} dx =\Big( \int_{-R}^{-\epsilon} +\int_{-\epsilon}^{+\epsilon} + \int_{+\epsilon}^{+R}\Big) \frac{\varphi(x) - \varphi(0) }{x} dx .$
L'intégrale entre $-\epsilon$ et $+\epsilon$ de la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x} $ est nulle à la limite $\epsilon \to 0$ car la fonction $\displaystyle \psi(x)$ est bornée.
La somme des intégrales $\displaystyle \Big( \int_{-R}^{-\epsilon} + \int_{+\epsilon}^{+R}\Big) \frac{ \varphi(0)}{x}dx$ est nulle car l'intégande est une fonction impaire.
Il ne reste que $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \Big( \int_{-R}^{-\epsilon} + \int_{+\epsilon}^{+R}\Big) \frac{\varphi(x)}{x} dx$ dont on peut prendre la limite quand $R \to +\infty$ pour obtenir :
$\displaystyle \int_{\R} \ln|x| \varphi'(x)dx = -\lim_{\epsilon \to 0} \Big( \int_{-\infty}^{-\epsilon} + \int_{+\epsilon}^{+\infty}\Big) \frac{ \varphi(x)}{x}dx = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_{|x| \geq \epsilon} \frac{ \varphi(x)}{x}dx = -<vp(\frac{1}{x}), \varphi>$ par définition de la valeur principale de Cauchy.

On peut procéder différemment pour trouver ce résultat et couper l'intégrale avec la relation de Chasles à des étapes différentes : tous les chemins mènent à Rome.

En espérant ne pas avoir écrit trop de bétises...

Bonjour @remarque,

Je m'en doutais : plus de trois lignes sur les distributions sans erreur serait une première pour moi :-D.

J'ai modifié : est-ce OK maintenant ?

Bonjour @devil,

Pour répondre à ta question :
Quand on montre que la fonction $\displaystyle x \mapsto \ln |x|$ est localement intégrable sur $\R$, on note que, pour tout $a$ et $b$ réels $\displaystyle \int_{a}^{b} \ln|x|dx = x \ln|x| - x \mid_{a}^{b}.$ Le point $x=0$ ne pose aucun problème puisque $x \ln |x| \to 0$ quand $x \to 0$. Donc même si la fonction est définie sur $\R^*$, elle est intégrable sur tout borné dans $\R.$ Non ?

Lorsque on veut calculer la dérivée de la distribution régulière $T_{\ln|x|}$ associée à la fonction localement intégrable, on tombe sur $\displaystyle \int_{\R} \ln|x| \varphi'(x)dx$ que l'on cherche à intégrer par partie.
C'est là qu'il faut faire attention et n'écrire que des intégrales qui convergent.
(J'ai d'ailleurs fait une erreur que @remarque à corriger : il est facile de se tromper, donc il faut faire très attention.)
Si on ne fait pas attention, on écrit (et c'est faux) :

$\displaystyle \int_{\R} \ln|x| \varphi'(x)dx = \ln|x| \varphi(x)\mid_{\R} - \int_{\R} \frac{\varphi(x)}{x} dx \text{, faux car divergent}.$

Le second terme est $\displaystyle \int_{\R} \frac{\varphi(x)}{x} dx.$ L'intégrande n'est pas définie en $x=0$ (à cause du dénominateur) donc c'est une intégrale impropre. Il faut établir si elle converge ou diverge en $x=0.$ Mais comme l'intégrade est équivalente à $\frac{\varphi(0)}{x}$ (je suppose $\varphi(0) \neq 0$), alors l'intégrale se comporte comme $\varphi(0) \ln|x|$ près de $0$. Et ce truc diverge car $\ln|x| \to -\infty$ quand $|x| \to 0.$ Et donc on ne peut pas écrire cette quantité. Soit on en écrit une autre (comme j'ai fait), soit on introduit des $\epsilon$ et on s'en sort comme ça.