Continuité par morceaux

Bonjour, je suis étudiant en classe préparatoire. En mathématiques, nous étudions actuellement les intégrales généralisés, sous l'hypothèse que l'intégrante f, est continue par morceaux de .
Cependant, nous n'avons pas encore défini la notion de continuité par morceaux sur les intervalles autres que les segments.

_Réflexion sur la question, vous pouvez passer ce bloc._

Définition de la continuité par morceaux sur un segment:
a et b étant deux réels tels que a < b, une fonction f définie sur le segment I = [a,b] est dite continue par morceaux si et seulement si il existe une subdivion (a_i)_i, finie de [a,b] tel la restriction de f à tout intervalle ouvert ]a_i,a_i+1[ soit prolongeable par continuité à [a_i,a_i+1].

Avec cette définition, toute fonction continue sur I est aussi continue par morceaux sur I. Si l'on souhaite avoir la même compatibilité sur les intervalles ouverts (I = ]a,b[), il faut s'affranchir de la contrainte de prolongeabilité par continuité pour les points spécifique a et b. Ceci nous guide dans le choix d'une définition de la continuité par morceaux sur un intervalle ouvert.

Le problème principale se pose pour les intervalles non-bornés:
- Si l'on demande à la fonction de n'être discontinue qu'en un nombre fini de points comme c'était le cas précédemment, alors la fonction partie entière sur R n'est pas continue par morceaux.
- Si l'on autorise simplement un nombre infini de point de discontinuité, alors la fonction [R+* -> R+* ; t -> 1/(ceil(1/t))] est continue par morceaux sur R+*, ce qui n'est pas désirable, au vue de la définition donnée pour les segments.

Je pose donc la question:
Quelle est la (les?) définition(s) de la continuité par morceaux d'une fonction définie sur R entier, ou sur R+, ou sur R+*.
Je suis plus particulièrement intéressé par la définition que donne par le bulletin officiel pour les CPGE, MP (je n'ai pas réussit à la trouver).

Merci