Intégrale est un nombre réel ?
Réponses
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Étrange en effet.
Rien qu'avec une fonction constante non nulle, il suffit de bricoler l'intervalle d'intégration pour tomber sur un entier, un decimal, un rationnel, un réel, et pour qu'elle diverge. -
Merci Dom, mais ca ne répond pas à ma question, la réponse est donc oui ?
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Bonsoir Benoit.
Ta question est mal posée, parce que trop floue. Quel type de fonction ? Quel type d'intégrale ?
Par exemple, l'intégrale de Riemann sur un intervalle [a,b] d'une fonction réelle Riemann intégrable est un réel. Si c'est une fonction à valeurs complexes, ce ne sera un réel que si l'intégrale de la partie imaginaire est nulle.
Donc il te faut t'expliquer ...
Cordialement. -
ah... :-S Merci gerard0
Bon je vais tout expliquer, car de toute facon j'arrive pas à faire la suite non plus ! 8-)
Disque D de centre l'origine et rayon 1. D = {(x,y) E R², x²+y²=<1}
Une fonction g(x,y) = (1/(x²+y²))^(3/4)
Une intégrale double I = Int Int sur D de g(x,y) dxdy
I est-elle est nombre réel ?
C'est posé exactement comme ca ! d'ou ma question.
Après c'est calculer I. Et la je coince aussi, j'ai cherché du coté d'intégrale de fonctions composées sans réussite...
Merci d'avance pour vos avis. Et désolé pour le Latex (j'ai téléchargé Texworks et feuilleté une FAQ, je m'y met, promis ! :-D ) -
Alors je pense que la question revient à : l'intégrale est-elle finie ou infinie ?
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ben ca ne me semble pas clair...
J'ai juste envie de répondre que on a:
0 =< x² + y² =< 1
donc que on a
0 =< g(x) =< 1
Comme g(x) finie pour tt (x,y) E R², l'intégrale est finie. non ?
Par contre l'intégrale de g(x), je ne sais vraiment pas la commencer... une piste ? -
Hum ... tu penses vraiment que, par exemple, $g(0,0)$ est compris entre $0$ et $1$?
Ensuite pour calculer ce genre d'intégrale il est recommandé de faire un changement de variable polaire (taper sur google si tu ne sais pas ce que c'est)... -
Attention, la fonction contient plutôt l'inverse de $x^2+y^2$.
. -
Intuitivement "on a envie" de passer en polaire.
Remarque : si on le fait, il faut énoncer un théorème du cours et vérifier chaque hypothèse. -
oups... tu as raison Dom, je suis allé vite en besogne... 8-)
Mais dans ce cas, qd je suis pour x et y proche de 0 ?! bon, c'est loin d'etre fini (sans mauvais jeu de mots (:P))
Je ne sais pas quoi répondre à cette question.
Yes merci Niakov, je tente tout de suite un passage en coordonées polaires ! ;-) -
Euh... c'est a dire Dom ?
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Si "polaire" ne te dit rien, alors oublions.
Ce qui suit donne une idée. Ensuite il faudra soigner la rigueur.
On peut voir la chose comme cela : lorsque $x$ et $y$ sont proches de $0$, alors par exemple $x$<=$y$ donc ...
On essaye ensuite de tout majorer par des quantités ne dépendant que de $x$, puis de passer à l'intégrale les inégalités.
Un critère de Riemann ensuite, si cela te dit quelque chose. -
si si les coordonnées polaires, il n'y a pas de probleme. Je vais tenter.
Mais avant de continuer sur le calcul de l'intégrale, j'aimerai que ce soit clair sur la question de l'intégrale qui est un nombre réel.
Pour quelles conditions de g(x) a-t-on cela? -
Ok,
il s'agit ici d'intégrales généralisées. Il n'y a pas de condition générale de convergence. Une fois passé en polaires, tu reviendras à une intégrale simple généralisée, et tu pourras appliquer les règles habituelles.
Si tu es gêné par la convergence, calcule ton intégrale sur D privé d'un petit disque centré en 0, de rayon e, puis fais tendre e vers 0. C'est le plus simple si tu connais mal les règles de convergence des intégrales doubles impropres.
Cordialement. -
Je répète, pour moi : "I est-elle un nombre réel ?" signifie "I est-elle finie ?"
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Tu le sauras en le calculant... ta fonction est positive, donc l'intégrale existe toujours (si cela te gêne, fais comme Gérard te dit : tu auras alors une intégrale que tu sais finie dès le début (car continue et donc bornée sur le domaine d'intégration) et ensuite par passage à la limite de la quantité obtenue), tu peux appliquer les théorèmes de changements de variables et tu verras si oui ou non elle est finie ...
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c'est ca qui me chagrine, mon exo me dit :
a/ I est-elle finie ?
b/ Si oui, calculer I ?
Comment définir que I est finie sans la calculer ?! DIre que g(x) est positif suffit alors selon Niakov ?
J'ai fait mon passage en coordonées polaire, et je trouve I = Pi/5. (ca m'a pris 3 lignes lol)
Quelqu'un me confirme mon résultat ?
Merci a tous. Et désolé d'être pas toujours très clair. J'ai perdu ma rigueur mathématiques (reprise d'études en cours du soir...). -
C'est en fait assez classique.
La limite existe-t-elle ? Si oui, la calculer.
Non ? -
Es-tu gêné par la convergence de l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^{\alpha}}dx$ quand $0 \leq \alpha < 1$?
Comme déjà indiqué par Gérard, si ce qui se passe autour de $(0,0)$ te gêne tu peux intégrer sur une couronne $r\leq x^2+y^2 \leq 1$ avec $r>0$. -
Tout dépend comment on t'a défini l'intégrale double... Si c'est par Riemann, en général c'est assez malaisé, et en général les profs ne s'attardent pas trop sur la construction...
Si c'est comme il faut (ie. par Lebesgue), une intégrale d'une fonction positive est toujours définie (mais peut être infinie), le calcul permettant parfois, comme ici, de trancher à la finitude. Après il y a sans doute un critère de convergence qui généralise le cas évoqué par Fin de partie dans le cadre unidimensionnel...
D'un autre côté, il me semble que l'intégrale vaut $4 \pi$. -
Avant meme de passer en coordonées polaire, avant meme de la calculer puis de la faire tendre vers 0, comment j'explique que l'intégrale est un nombre réel ?
On me l'a défini par Lesbegue oui bien entendu, donc je vais admettre que prouver la positivité de la fonction permet de dire que l'intégrale est un nombre réel.
@Niakov: OK merci je vérifie ca 8-)
@Dom clairement la limite en 0| n'est pas finie, pourtant la réponse est que cette intégrale est un nombre réel.
:-S :-S :-S :-D -
Ce serait une grave erreur !!Benoit a écrit:donc je vais admettre que prouver la positivité de la fonction permet de dire que l'intégrale est un nombre réel.
la positivité de la fonction permet de dire que l'intégrale est soit convergente (un réel) soit divergente vers $+\infty$. Rien de plus.
Soit tu as des théorèmes de ton cours qui permettent de conclure, et tu peux les utiliser, soit il te reste le calcul comme intégrale généralisée qui donne et l'intégrabilité (Lebesgue), et le fait que l'intégrale est finie, si l'intégrale généralisée converge.
Cordialement. -
en coordonée polaire ma fonction est g(r,T) = r^(-3/2)
J'intégre sur r entre 0 et 1 en premier, cela me donne: (-2/5).r^(-5/2) entre 0 et 1
soit I = (-2/5) * Int 0 a 2Pi 1 dT = (-2/5) * 2Pi = -4Pi/5
:-D probleme... -
Edit : Pourquoi $-\frac32$ ? (Pourquoi ce signe ?)
Pardon erreur de ma part. -
La fonction est positive sur $\mathbb{R^*}^2$ comment peux-tu obtenir un nombre négatif?
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Pour information, une primitive de la fonction $f(x)=x^{\alpha}$ définie sur l'intervalle $]0,1]$ pour $\alpha$ réel différent de $-1$ est, sauf erreur, la fonction $F(x)=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$
-
\begin{align*}
\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/4}} dx dy & = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{1}{(r^2)^{3/4}} r dr d \theta \\
& = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{1}{r^{1/2}} dr d \theta \\
& = \int_0^{2\pi} [2\sqrt{u}]_0^1 d\theta \\
& = 2 \int_0^{2\pi} d \theta = 4 \pi.
\end{align*}
Non? -
Tout à fait Niazov,
si on dispose d'un théorème sur les changements de variable dans les intégrales généralisées qui permet de justifier le premier =.
Cordialement. -
On peut remplacer la borne $0$ par un paramètre $\alpha$. Cela correspond à l'intégration sur la couronne $\alpha \leq x^2+y^2\leq 1$ et à la fin on a une formule qui dépend de $\alpha$ et on peut faire tendre $\alpha$ vers $0$.
-
D'ailleurs, le théorème "général" ne s'applique pas facilement pour le changement polaire car on n'a pas de bijection $C^1$ (problème en $0$ et sur une demi-droite si ma mémoire est bonne).
Ici le théorème général : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Intégration_par_changement_de_variable#Cas_des_int.C3.A9grales_multiples
Le théorème qui s'en inspire, se trouve dans ce document (on enlève $\mathbb R^-$.
http://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2014-15-L2PS/L2PS-Ch10.pdf -
Ce n'est pas un théorème sur les intégrales généralisées, c'est le théorème usuel pour une fonction borélienne positive ...
Soit $\phi : U \rightarrow D$ un difféomorphisme de classe $C^1$. Alors pour toute
fonction borélienne $f : D \rightarrow \mathbb{R}_+$,
\[\int_D f(x) dx =
\int_U f(\phi(u))|J_{\phi}(u)| du ,\]
où $J_{\phi}(u) = det(\phi'(u))$ est le Jacobien de $\phi$ en $u$.
Voir par exemple ici, page 82.
(avec, ici, $f(x,y)= \mathbf{1}_{\{0<x^2+y^2\leq 1\}}g(x,y)$, où $g$ correspond à la notation déjà utilisée par Benoit pour noter l'intégrande ...) -
@Dom : oui, évidemment, on se place sur $\R^2\setminus \{0\}\times \R_+$, mais on ne peut pas appeler cela une difficulté...
On a, de manière immédiate ($\{0\}\times \R_+$ est de mesure nulle dans $\R^2$)
\[\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/4}} dx dy = \iint_{D\cap \R^2\setminus \{0\}\times \R_+} \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/4}} dx dy\]
et le théorème s'applique directement et en toute rigueur. -
Oui.
Mon intervention précise qu'une majorité d'étudiants n'écrivent pas réellement $\phi$ et ne se rendent pas compte que "le leur" n'est pas un difféomorphisme. Beaucoup de bouquins zappent aussi ce passage en laissant sous le tapis cette difficulté.
. -
Niazov a écrit:\begin{align*}
\iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/4}} dx dy & =
\int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{1}{(r^2)^{3/4}} r dr
d \theta \\
& = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{1}{r^{1/2}}
dr d \theta \\
& = \int_0^{2\pi} [2\sqrt{u}]_0^1 d\theta
\\
& = 2 \int_0^{2\pi} d \theta = 4 \pi.
\end{align*}
Non?
euh... non. Enfin je ne crois pas.
r²^(3/4) = r^(3/2) et non r^(1/2)
En intégrant cela me donne du (2/5)r^(5/2)
non ?
Mon résultat est 4Pi/5. vrai ? -
Tu oublies le $r$ supplémentaire au numérateur issu du changement de variable (il apparaît bien dans mon calcul) :
\[ \iint_D \frac{1}{(x^2+y^2)^{3/4}} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{1}{(r^2)^{3/4}} \mathbf{r} dr d \theta\]
et $\frac{r}{(r^2)^{3/4}} =?$ -
oups.... :-D
merci
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