non convergence pas si inutile!

Toutes sous-suites, donc $(u_n)$ aussi (qui est bien une sous-suite d'elle même).

Que pensez vous alors de prouver que

Tu n'arrives pas à le faire? (C'est valable dans n'importe quel espace topologique, aussi non séparé soit-il)

@ Dom : je ne suis pas sûr que tu aies bien saisi le résultat dont Monfort parle.

Donc il s'agit bien d'une discussion sur le raisonnement par l'absurde : doit-on faire son possible pour s'en passer ou pas ?

Montfort,

je ne t'ai pas "sauté dessus", je t'ai fait remarquer que ce n'était pas le plus simple, surtout quand on a une démonstration directe simple !
Ensuite, je t'ai demandé si tu étais capable d'écrire la négation de $u_n\to \ell$, ce que tu n'as pas réussi à faire directement. Ensuite tu as sorti une "démonstration d'une page" (je n'ai pas réussi à lire, le bleu clair sur blanc passe mal à mon âge), alors que christophe a montré qu'on pouvait faire ça en 5 lignes.

Donc utiliser une preuve par l'absurde, ou plutôt démontrer par contraposition demande une certaine technicité, et est souvent une mauvaise idée. Ici par exemple où l'argument de Dom est absolument simple.

Maintenant, si tu tiens à ton type de démonstration, vas-y, convainc-nous de la pertinence de cette façon de faire, en rédigeant une preuve. Au moins en commençant la rédaction par le début. Comme l'autre fois, tu ne fais rien, tu incites les autres à faire le travail à ta place.

Allez, à toi ....

En fait, soit on accepte le RPA, soit on ne l'accepte pas (et on ne fait pas beaucoup d'analyse). Si on l'accepte, alors il n'y a pas de raison de chercher l'éviter. Il peut en effet être superflu ou pas, mais peu importe, une démonstration qui ne l'utilise pas n'aura pas plus de valeur qu'une démonstration qui l'utilise (sauf peut-être d'être acceptable par ceux qui n'acceptent pas le RPA, et à condition que ce dernier n'ait pas été utilisé en douce auparavant).

@gebrane, ce n'est pas un raisonnement par l'absurde que tu as fait. Par définition:
$$non(P) = P\to tout$$

En écho à remarque:

et à condition que ce dernier n'ait pas été utilisé en douce auparavant

ce qui est toujours le cas et pas qu'un peu!!! Sans RPA il est "connu" qu'on ne peut même pas prouver l'existence d'une fonction non continue sur $\R$. Je crois que j'ai même eu vent qu'on peut supposer que toute application de $\R\to \R$ est localement affine (ce qui est pratique pour la dérivation :-D ) . En résumé sans RPA, de toute façon, il n'y a pas de vrai $\R$ et il n'y a pas d'analyse.

Récemment, j'ai demandé sur le forum si sans RPA, on peut prouver que si un ensemble $E$ est égal à l'ensemble des applications de $E$ dans $E$ alors $card(E)\leq 1$. Je ne suis pas du tout sûr que ce problème ne soit pas ouvert.

@cc
Mon raisonnement n'est pas un raisonnement par l'absurde tiens tiens!!!

Admettons que nous ayons à démontrer une proposition p. La démarche consiste à montrer que l'hypothèse non p (c'est-à-dire que p est fausse) mène à une contradiction logique. Ainsi p ne peut pas être fausse et doit être donc vraie.

@ gebrane0 : c'est aussi un marronnier du forum.

Dom écrivait:

---

> hors sujet

Hors sujet, elles étaient. ;-)

@cc on va faire un vote
Au forumeur qui trouve mon raisonnement est un raisonnement par l'absurde
votez oui ou non
On discutera après les résultats du vote
@cc s'abstenir! pour ne pas influencer le vote:-D

@gebrane: ce n'est pas démocratique la science. Les forumeurs pourraient même à l'unanimité te donner raisonils se tromperaient tous et c'est moi qui aurais raison (je te signale juste que je suis l'expert*** du forum disons pour ces définitions-là, mais t'as raison, c'est rigolo)

*** c'est évidemment prétentieux (mais j'adore être prétentieux), mais je ne te dis pas ça "par prétention", mais pour te signifier que je ne parle pas en mon nom mais en celui de la science reconnue et payée, avec des labos, des grands chercheurs, des médaillés même . A propos de ça bien sûr, pas à propos de tout.

@Remarque
Ok tu es du coté de cc et mon raisonnement n'est pas ce que je croyais un raisonnement par l'absurde.

begin{avocatdudiable}
$P$ : $\forall x\, 0\times x \neq 1$ traduit en français "$0$ n'a pas d'inverse."
$\neg P$ : $\exists x \, 0\times x = 1$
Or $\neg P \rightarrow \bot \text{out}$
donc $P$ par RPA
end{avocatdudiable}

par ailleurs je sais démontrer que $0$ n'a pas d'inverse sans RPA.

S

@gebrane, si tu veux vraiment un RPA authentique, démontre que dans un corps $a^2=0\to a=0$. Là, le RPA est inévitable.

begin{avocatdudiable} version 2
$P$ : $\exists x\, 0\times x = 1$ traduit en français "$0$ a un inverse."
$\neg \neg P$ : $\neg \neg \exists x \, 0\times x = 1$
Or $\neg \neg P \rightarrow P$ d'après RPA
Puis $P \rightarrow \bot \text{out}$ d'après gebrane0
Donc $\neg P$ d'après RPA car $\neg (\neg P) \rightarrow \bot \text{out}$
c'est à dire "négation de $0$ a un inverse" c'est à c'est à dire "$0$ n'a pas d'inverse"
end{avocatdudiable}

S

@gebrane: c'est juste une question de convention. Je t'informais juste de ce qui s'appelle "raisonnement par l'absurde" et de ce qui ne s'appelle pas "raisonnement par l'absurde". Aucune histoire de "démontrer quelque chose" ici, on ne démontre pas des définitions. Je te rappelle l'information précise:

non(P) est une abréviation de $P\to tout$. Par conséquent quand tu prouves intuitionnistiquement $P\to tout$ et que tu dis "donc non(P)", tu ne fais que te répéter après le "donc".

Pour l'énoncé: soit $K$ un corps. Soit $a\in K$. Prouve que si $a^2=0$ alors $a=0$. En prenant comme axiome de corps que tout élément non nul a un inverse (+ être un anneau), l'expression "être non nul" s'écrivant $x=0\to tout$, ie $non(x=0)$.

[small](Remarque HS: pour des raisons tout à fait autres, GBMZ m'avait part que les constructivistes préfèrent prendre comme axiome de corps "tout élément est nul ou a un inverse"**. Mais ce choix est lié à des désirs motivés pour la géométrie)[/small]

[small]** dans ce cas, pas de RPA évidemment pour prouver $a^2=0\to a=0$, puisque $a$ inversible entraine $a^2=0\to a=0$ et $a=0$ entraine aussi $a^2=0\to a=0$.[/small]

Bon je vais au dodo, donc pardon si je ne réponds pas.

@cc et remarque
J'ai compris la faille et je reprends avec un vrai raisonnement par l'absurde
démontrer que
$0$ n'admet pas un inverse dans $\C$
Par l'absurde , si c’était le cas, il existe un complexe a tel que $a\times 0=1$,donc$1=a\times (0+0)=a\times 0+a\times 0=1+1=2$, donc $1=2$ absurde
Le défit est toujours de démontrer cette assertion par un autre raisonnement autre que l'absurde
Bonne nuit
je peux dormir
cc tu es un expert, jamais j'aurai deviner mon erreur

Christophe a écrit:

@gebrane, si tu veux vraiment un RPA authentique, démontre que dans un corps $a^2=0\to a=0$. Là, le RPA est inévitable.

Non. Un corps est un anneau commutatif unitaire qui vérifie
$0=1\vdash \bot$
$\vdash x=0 \vee \exists y\ xy=1$

Bon, Christophe avait déjà précisé ça en tout petit dans un message suivant celui que j'ai cité.

Bonjour @GaBuZoMeu,

J'ai lu beaucoup de messages sur le raisonnement par l'absurde dans des fils sans rien y comprendre pour être clair sauf qu'ils indiquent que, souvent, un raisonnement dit "par l'absurde" ne l'est pas.

Pourrais-tu écrire un vrai raisonnement par l'absurde (le plus abordable possible) pour me donner une idée de ce que c'est ? A moins que le débat est qu'il n'en existe pas !

Bonjour à tous
Si je comprends bien :
$P \implies Tout $ n'est pas un raisonnement par l'absurde (c'est juste une autre façon d'écrire $non(P)$)

$(non(P) \implies Tout) \implies P $ est un raisonnement par l'absurde (équivalent au tiers exclu,t à $non(non(P)) \implies P$

gebrane a écrit:

$0$ n'admet pas un inverse dans $\C$
Par l'absurde , si c'etait le cas, il existe un complexe a tel que $a×0=1$, donc $0=1$ absurde

La question est finalement de savoir laquelle des deux formes ci-dessus est la meilleur traduction en logique formelle de ce texte en français.

Ce qui est amusant c'est que le wikipedia en anglais ne semble pas être d'accord avec la wikipedia en français sur le fait que la démonstration du fait que $\sqrt{2}$ soit irrationnel est un raisonnement par l'absurde ou non...

Démontrer qu'il existe deux irrationnels $a$ et $b$ tel que $a^b$ est rationnel.

La preuve classique utilise le RPA, c'est un bon exemple il me semble.

Bonsoir,

je viens en paix,

j'ai vu quelques fils qui ressurgissent sur des choses qui m'avaient choquées il y a quelques années. C'est pour ça que j'avais un fait un bout de chemin avec un livre de théorie de la démonstration.
Il y a plusieurs façons de faire pour formaliser, mécaniser une démonstration :
- la déduction naturelle | calcul des séquents qui est illustrée par GZBM;
- l'axiomatique à la Hilbert qui est illustrée par cc;
- sans doute d'autres que j'ignore.

Moi personnellement j'ai un faible pour la première s'il s'agit de rédiger une preuve formelle de chez formelle.
Idéalement j'aimerais pouvoir avoir à disposition quelque chose d'approchant pour le second degré, pour expliciter aux élèves tout ce qu'on a le droit de faire pour prouver des choses.
C'est ce que cc répète depuis longtemps avec son analogie avec le jeu d'échecs.
-> Afin de répondre à l'angoissante question de l'élève qui veut avoir tous les points "Madame ? Monsieur ? Comment on rédige" mais que cette rédaction soit comprise afin que le prof ait accompli sa mission : savoir être convaincant parce que convaincu.


Disons que ce que cite sieur gebrane0, qui se résume par :
- je veux prouver $A$
-> Je suppose $\neg A$ et chemin faisant, sans faire d'autre "supposons", en utilisant les axiomes et les règles de déductions, on arrive à l'inconcevable, l'absurde, genre $0=1$.
On pourrait appeler cela une stratégie de démonstration vers l'absurde : la stratégie aux échecs est une visée globale s'affranchissant plus ou moins des moyens, ces moyens étant la tactique. Genre je veux bloquer le champ d'action d'une pièce, voire la stratégie ultime : je veux mater. La tactique se résumera par le choix et le déplacement des pièces adéquat pour y arriver.
A la fin $A$ est prouvée.

Chemin faisant on peut, ou ne pas, utiliser une règle de déduction isolée par les logiciens nommée "absurde classique" ou un truc du genre, qui peut avoir plusieurs formes.
-> Les logiciens tiquent lorsque l'on nomme un raisonnement par l'absurde, une preuve qui n'utilise pas ladite règle de déduction.
Ce qui est le cas dans vos deux preuves données sieur gebrane0 (je ne m'acharne pas, hein !)

Ainsi l'idée de vote émise par sieur gebrane0, a un sens, il ne s'agit pas de voter "$\pi =3,14$", il s'agit de nommer, abréger (j'aime pas trop ce mot) quelque chose. Ce n'est pas vrai ou faux, a priori, c'est histoire de convention.
L'histoire des mathématiques a fait que l'on a nommé ainsi quelque chose que les logiciens souhaitent affiner.

Bon, j'ai bien renforcé mes coucougnettes en écrivant ce post. J'espère ne pas m'en prendre plein la tronche, comme indiqué au début je venais dans une optique de conciliation des points de vue.

S