non convergence pas si inutile!
Bonjour,
J'ai propose hier d'essayer de prouver le théorème d'encadrement ($\lim u_n=\lim w_n=l$ et $u_n<v_n<w_n \implies \lim v_n=l$) par l'absurde en supposant que la suite ne converge pas vers $l$ et tout le monde m'a saute dessus affirmant que c'est mal aisé, pas pratique d'utiliser la definition de non convergence.
Que pensez vous alors de prouver que si on suppose que toute sous suite de $u_n$ a une sous-sous suite convergente vers $l$, alors $u_n$ tend vers $l$
PS: Le problème ici est que on sait seulement que $u_n$ elle meme a une sous-suite qui converge vers $l$ et non pas que $u_n$ (la sous-suite) converge vers l
J'ai propose hier d'essayer de prouver le théorème d'encadrement ($\lim u_n=\lim w_n=l$ et $u_n<v_n<w_n \implies \lim v_n=l$) par l'absurde en supposant que la suite ne converge pas vers $l$ et tout le monde m'a saute dessus affirmant que c'est mal aisé, pas pratique d'utiliser la definition de non convergence.
Que pensez vous alors de prouver que si on suppose que toute sous suite de $u_n$ a une sous-sous suite convergente vers $l$, alors $u_n$ tend vers $l$
PS: Le problème ici est que on sait seulement que $u_n$ elle meme a une sous-suite qui converge vers $l$ et non pas que $u_n$ (la sous-suite) converge vers l
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Réponses
Tu n'arrives pas à le faire? (C'est valable dans n'importe quel espace topologique, aussi non séparé soit-il)
$u_n$ est une sous suite d'elle meme? Alors a quoi sert Bolzano Weierstrass?
Je pensais que pour definir une sous suite l'application $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ doit être strictement croissante?
Et "sinon" (façon de parler), la sous-suite constituée de tous les termes, sauf du premier, suffir à "voir ce qu'il se passe".
Donc il s'agit bien d'une discussion sur le raisonnement par l'absurde : doit-on faire son possible pour s'en passer ou pas ?
Mais, dans le message de ce nouveau fil, j'avais cru être dans le sujet quand même.
Mea Culpa sI méprise il y a de ma part.
je ne t'ai pas "sauté dessus", je t'ai fait remarquer que ce n'était pas le plus simple, surtout quand on a une démonstration directe simple !
Ensuite, je t'ai demandé si tu étais capable d'écrire la négation de $u_n\to \ell$, ce que tu n'as pas réussi à faire directement. Ensuite tu as sorti une "démonstration d'une page" (je n'ai pas réussi à lire, le bleu clair sur blanc passe mal à mon âge), alors que christophe a montré qu'on pouvait faire ça en 5 lignes.
Donc utiliser une preuve par l'absurde, ou plutôt démontrer par contraposition demande une certaine technicité, et est souvent une mauvaise idée. Ici par exemple où l'argument de Dom est absolument simple.
Maintenant, si tu tiens à ton type de démonstration, vas-y, convainc-nous de la pertinence de cette façon de faire, en rédigeant une preuve. Au moins en commençant la rédaction par le début. Comme l'autre fois, tu ne fais rien, tu incites les autres à faire le travail à ta place.
Allez, à toi ....
De toute façon, en analyse, le RPA fait 99.9% du travail et lui est ... nécessaire (sinon on tombe dans l'algèbre, qui elle peut s'en passer nettement plus). On a même besoin de l'axiome du choix dépendant au minimum! Or l'axiome du choix "fini" entraine le RPA de toute façon.
Si tu veux une tournure "qui a l'air" directe, tu peux dire que si une suite $u$ ne converge pas vers $a$ alors il existe un ouvert $V$ contenant $a$ et une sous-suite $v$ de $u$ n'ayant aucun terme dans $V$ (par définition du mot limite). Mais l'obtention de $v$ à partir du seul "il existe une infinité de $n$ tels que $u_n\notin V$" n'est pas intuitionniste (le RPA est déjà utilisé). La conclusion, c'est à dire "aucune sous-suite de $v$ ne converge vers $a$" est une négation donc il n'y a pas d'utilisation visible du RPA.
Mais à moins de passer des heures à décrypter chaque détail inférentiel d'un raisonnement formel n'oubliant aucune étape, le débat n'est pas possible par manque de connaissance des conventions personnelles que tu acceptes comme ne méritant pas d'être nommées RPA
@gerard je ne suis pas fâche en disant "saute dessus" j'essaye juste de comprendre les justifications qui vont derrière le pourquoi éviter le RPA et dans quel cas, etc...
@christophe c: vraiment intéressant, merci pour ce paragraphe philosophico-mathematique
@tout le monde et @Dom: Ne sois (soyez) pas si rapide. Le problème ici est que on sait seulement que $u_n$ elle meme a une sous-suite qui converge vers $l$ et non pas que $u_n$ (la sous-suite) converge vers $l$
Attention, ce n'est pas de la philosophie les remarques que je t'ai faites. Tout ceci est parfaitement formel, étudié, objet de recherche (en particulier pour l'implémentation informatique), etc.
Je vous lance un défit, proposer un raisonnement autre que l'absurde pour démontrer que
$0$ n'admet pas un inverse dans $\C$
Par l'absurde , si c'etait le cas, il existe un complexe a tel que $a\times 0=1$, donc $0=1$ absurde
$$non(P) = P\to tout$$
En écho à remarque:
ce qui est toujours le cas et pas qu'un peu!!! Sans RPA il est "connu" qu'on ne peut même pas prouver l'existence d'une fonction non continue sur $\R$. Je crois que j'ai même eu vent qu'on peut supposer que toute application de $\R\to \R$ est localement affine (ce qui est pratique pour la dérivation :-D ) . En résumé sans RPA, de toute façon, il n'y a pas de vrai $\R$ et il n'y a pas d'analyse.
Récemment, j'ai demandé sur le forum si sans RPA, on peut prouver que si un ensemble $E$ est égal à l'ensemble des applications de $E$ dans $E$ alors $card(E)\leq 1$. Je ne suis pas du tout sûr que ce problème ne soit pas ouvert.
Mon raisonnement n'est pas un raisonnement par l'absurde tiens tiens!!!
En effet j'ai quitté la discussion qui fait plutôt réfèrence à une autre dans laquelle je ne m'étais pas impliquée (et je prends pas le temps d'aller voir).
Mes remarques restes vraies mais semblent hors sujet.
[small]Je ne suis pas vexé, hein ? C'est juste pour préciser. ;-)[/small]
> hors sujet
Hors sujet, elles étaient. ;-)
Ne pas confondre avec déduire $tout$ de l'hypothèse $non(P)$ (en l'utilisant plusieurs fois!!!) puis dire "j'ai prouvé $P$". Ca n'a strictement rien à voir.
Le raisonnement par l'absurde comme son nom (très mal choisi) ne l'indique pas est un axiome. Je t'en donne plusieurs variantes équivalentes:
1) $non(non(P))$ implique $P$
2) $A\to B$ ou $B\to A$
3) $A$ ou $non(A)$ (souvent nommé tiers-exclus)
4) $(((A\to \to A)\to A)$
5) si $(A\to $ et $non(A)\to B$ alors $B$
6) $((A\to tout)\to tout)\to A$
7) non est injective (autrement dit) si $non(A)\iff non(B)$ alors $A\iff B$
8) loool j'arrête, mais si tu veux, j'en ai pas mal en magazin :-D
Toutes ces formes sont intuitionnistiquement équivalentes et expriment le RPA. Elles sont toutes comme conséquence que toute phrase est vraie ou fausse, ie $(A\iff $ ou $(A\iff C)$ ou $(C\iff $
Au forumeur qui trouve mon raisonnement est un raisonnement par l'absurde
votez oui ou non
On discutera après les résultats du vote
@cc s'abstenir! pour ne pas influencer le vote:-D
[small]*** pour les visiteurs, je signale en gros en quoi ça consiste. Le contenu garantissant du RPA est l'action suivante: on leurre quelqu'un qui promet d'offrir $A$ en échange d'une clé qui ouvre $A\to B$ en lui proposant une fausse clé. Pour falsifier notre offre, il va devoir nous montrer que c'est une fausse clé, et donc nous emmener .... dans $A$ pour la glisser dans la serrure qui ouvre le passage vers B (et nous dire "vous voyez bien qu'elle ne marche pas"). Mais à ce moment-là, on lui tapera dans le dos en lui disant "t'es gentil, on avoue on t'a eu, on voulait aller dans A, bin tu vois mon grand, tu nous y a mené sans qu'on te donne de clé, tu devrais avoir plus confiance en toi" puis on le congédiera puisque on aura été satisfait.[/small] A l'exécution "à la main", cette astuce permet de constructiviser les preuves de maths (autant que possible, ie faire apparaitre le RPA à des endroits complètement inoffensifs de sorte qu'on sait quels axiomes modifier pour que tout ce qu'on voulait devienne constructif).
*** c'est évidemment prétentieux (mais j'adore être prétentieux), mais je ne te dis pas ça "par prétention", mais pour te signifier que je ne parle pas en mon nom mais en celui de la science reconnue et payée, avec des labos, des grands chercheurs, des médaillés même . A propos de ça bien sûr, pas à propos de tout.
@ gebrane0 : allons, ce n'est pas une question d'opinion, ce genre de choses ne se décide pas par un vote majoritaire. (grillé par cc).
Ok tu es du coté de cc et mon raisonnement n'est pas ce que je croyais un raisonnement par l'absurde.
Edit : et de toutes façons, ce genre de choses ne se décide pas en comptant des votes. ;-)
$P$ : $\forall x\, 0\times x \neq 1$ traduit en français "$0$ n'a pas d'inverse."
$\neg P$ : $\exists x \, 0\times x = 1$
Or $\neg P \rightarrow \bot \text{out}$
donc $P$ par RPA
end{avocatdudiable}
par ailleurs je sais démontrer que $0$ n'a pas d'inverse sans RPA.
S
On suppose que toute suite extraite de $u$ admet une suite extraite qui converge vers $L$ et un ouvert $V$ tel que $L\in V$. A chaque entier $n$ on associe $p(n)$ tel que $p(n)>n$ et $u(p(n))\notin V$ (on prend le plus petit) s'il existe et $p(n):=n$ sinon. Bon bin là, on vient de faire sans le dire un parfait raisonnement raisonnement par l'absurde (on a construit une fonction "par cas", en admettant $(\exists p : blabla) ou non(\exists p : blabla)$. Et c'est irréparable!
En admettant que cette fonction $p$ existe, et en prenant une fonction extraite de $u\circ p$ donnée par l'hypothèse, on aura une conclusion de la forme suivante: $u_{n+9}\in V$ car $u_{p(n)}\in V$ (pour tout $n$ assez grand). Mais tout l'absurde a été concentré dans la définition par cas.
Exemple: soit $E$ un ensemble infini. Prouve donc sans utiliser le RPA qu'il existe une application sans point fixe de $E\to E$. Et pourtant une petite définition par cas te la donne immédiatement.
Mais en mathématiques un vote est toujours appuyé par une preuve que chacun de nous croit a sa véracité. je voulais savoir si je suis un donkishot à croire à mon raisonnement
Mais je sens que cc a une grande notoriété sur le forum et personne n'osera le contredire
edit ton énoncé est incomplet dans un corps $a^2=0\to a=0$
$P$ : $\exists x\, 0\times x = 1$ traduit en français "$0$ a un inverse."
$\neg \neg P$ : $\neg \neg \exists x \, 0\times x = 1$
Or $\neg \neg P \rightarrow P$ d'après RPA
Puis $P \rightarrow \bot \text{out}$ d'après gebrane0
Donc $\neg P$ d'après RPA car $\neg (\neg P) \rightarrow \bot \text{out}$
c'est à dire "négation de $0$ a un inverse" c'est à c'est à dire "$0$ n'a pas d'inverse"
end{avocatdudiable}
S
Pardon pour ce propos du soir quelque peu euphémisant : Heu...si, si cela m'est arrivé. (Au sujet de @cc).
Sur la question du RPA, pour ma part, il me faut d'abord connaitre toutes les définitions sous-jacentes (dirais-je de "la logique") pour pouvoir me prononcer.
J'appelle aussi ce que tu proposes RPA mais à tort. C'est un abus de langage (pardon "abus de langage" a aussi plusieurs définitions, j'utilise la mienne !).
non(P) est une abréviation de $P\to tout$. Par conséquent quand tu prouves intuitionnistiquement $P\to tout$ et que tu dis "donc non(P)", tu ne fais que te répéter après le "donc".
Pour l'énoncé: soit $K$ un corps. Soit $a\in K$. Prouve que si $a^2=0$ alors $a=0$. En prenant comme axiome de corps que tout élément non nul a un inverse (+ être un anneau), l'expression "être non nul" s'écrivant $x=0\to tout$, ie $non(x=0)$.
[small](Remarque HS: pour des raisons tout à fait autres, GBMZ m'avait part que les constructivistes préfèrent prendre comme axiome de corps "tout élément est nul ou a un inverse"**. Mais ce choix est lié à des désirs motivés pour la géométrie)[/small]
[small]** dans ce cas, pas de RPA évidemment pour prouver $a^2=0\to a=0$, puisque $a$ inversible entraine $a^2=0\to a=0$ et $a=0$ entraine aussi $a^2=0\to a=0$.[/small]
(Test de ma nouvelle paire de coucougnettes contre l'expert cc)
S
il prouve de manière intuitionniste que $0$ inversible implique tout.
J'ai compris la faille et je reprends avec un vrai raisonnement par l'absurde
démontrer que
$0$ n'admet pas un inverse dans $\C$
Par l'absurde , si c’était le cas, il existe un complexe a tel que $a\times 0=1$,donc$1=a\times (0+0)=a\times 0+a\times 0=1+1=2$, donc $1=2$ absurde
Le défit est toujours de démontrer cette assertion par un autre raisonnement autre que l'absurde
Bonne nuit
je peux dormir
cc tu es un expert, jamais j'aurai deviner mon erreur
En aparté ...
À mon avis c'est bon ton truc là pour moi : tu laisse plus aucun choix
forcément là si c'est vrai alors 0=1
(j'ai un problème similaire là bas j'ai deduis des trucs mais j'ai pas réussit à conclure ) ->ce que j'ai essayé de faire c'est mauvais http://www.maths-forum.com/defis/theoreme-galvin-t166935.html
ceci dit je ne pense pas y arriver avant une dizaine d'années (je ne bosse pas de façon linéaire) je ne demande pas d'aide je dit juste que mon problème se ressemble
Bonne continuation à toi...et merci Vous tous aussi les camarades (évidemment)
$0=1\vdash \bot$
$\vdash x=0 \vee \exists y\ xy=1$
Bon, Christophe avait déjà précisé ça en tout petit dans un message suivant celui que j'ai cité.
La plupart des raisonnements (sinon tous) prétendument "par l'absurde" pour montrer une négation (du genre 0 n'a pas d'inverse, $\sqrt2$ n'est pas rationnel etc.) ne sont en fait pas des raisonnements par l'absurde.
J'ai lu beaucoup de messages sur le raisonnement par l'absurde dans des fils sans rien y comprendre pour être clair sauf qu'ils indiquent que, souvent, un raisonnement dit "par l'absurde" ne l'est pas.
Pourrais-tu écrire un vrai raisonnement par l'absurde (le plus abordable possible) pour me donner une idée de ce que c'est ? A moins que le débat est qu'il n'en existe pas !
$0=1 \vdash \bot$ (1),
$ \neg (x=0)\vdash \exists y\ xy=1$ (2).
Voici le raisonnement :
$(x^2=0 \text{ et } xy=1) \vdash 0=1$ (manip algébrique sans problème).
Donc avec (2)
$(x^2=0 \text{ et } \neg (x=0)) \vdash 0=1$ (l'intuitionniste acquiesce)
Donc avec (1)
$(x^2=0 \text{ et } \neg (x=0)) \vdash \bot$
et ainsi
$x^2=0\vdash \neg\neg (x=0)$ (l'intuitionniste est toujours d'accord)
d'où
$x^2=0\vdash x=0$ (là l'intuitionniste râle : oh le vilain RPA !).
Si je comprends bien :
$P \implies Tout $ n'est pas un raisonnement par l'absurde (c'est juste une autre façon d'écrire $non(P)$)
$(non(P) \implies Tout) \implies P $ est un raisonnement par l'absurde (équivalent au tiers exclu,t à $non(non(P)) \implies P$
La question est finalement de savoir laquelle des deux formes ci-dessus est la meilleur traduction en logique formelle de ce texte en français.
Ce qui est amusant c'est que le wikipedia en anglais ne semble pas être d'accord avec la wikipedia en français sur le fait que la démonstration du fait que $\sqrt{2}$ soit irrationnel est un raisonnement par l'absurde ou non...
L'utilisation de l'axiome $\neg\neg P\Rightarrow P$ est le raisonnement par l'absurde.
La preuve classique utilise le RPA, c'est un bon exemple il me semble.
@GBMZ: oui j'aurais dû le mettre en gros caractères, mais en fait, j'en avais déjà tellement écrit, que j'ai eu une hésitation.
je viens en paix,
j'ai vu quelques fils qui ressurgissent sur des choses qui m'avaient choquées il y a quelques années. C'est pour ça que j'avais un fait un bout de chemin avec un livre de théorie de la démonstration.
Il y a plusieurs façons de faire pour formaliser, mécaniser une démonstration :
- la déduction naturelle | calcul des séquents qui est illustrée par GZBM;
- l'axiomatique à la Hilbert qui est illustrée par cc;
- sans doute d'autres que j'ignore.
Moi personnellement j'ai un faible pour la première s'il s'agit de rédiger une preuve formelle de chez formelle.
Idéalement j'aimerais pouvoir avoir à disposition quelque chose d'approchant pour le second degré, pour expliciter aux élèves tout ce qu'on a le droit de faire pour prouver des choses.
C'est ce que cc répète depuis longtemps avec son analogie avec le jeu d'échecs.
-> Afin de répondre à l'angoissante question de l'élève qui veut avoir tous les points "Madame ? Monsieur ? Comment on rédige" mais que cette rédaction soit comprise afin que le prof ait accompli sa mission : savoir être convaincant parce que convaincu.
Disons que ce que cite sieur gebrane0, qui se résume par :
- je veux prouver $A$
-> Je suppose $\neg A$ et chemin faisant, sans faire d'autre "supposons", en utilisant les axiomes et les règles de déductions, on arrive à l'inconcevable, l'absurde, genre $0=1$.
On pourrait appeler cela une stratégie de démonstration vers l'absurde : la stratégie aux échecs est une visée globale s'affranchissant plus ou moins des moyens, ces moyens étant la tactique. Genre je veux bloquer le champ d'action d'une pièce, voire la stratégie ultime : je veux mater. La tactique se résumera par le choix et le déplacement des pièces adéquat pour y arriver.
A la fin $A$ est prouvée.
Chemin faisant on peut, ou ne pas, utiliser une règle de déduction isolée par les logiciens nommée "absurde classique" ou un truc du genre, qui peut avoir plusieurs formes.
-> Les logiciens tiquent lorsque l'on nomme un raisonnement par l'absurde, une preuve qui n'utilise pas ladite règle de déduction.
Ce qui est le cas dans vos deux preuves données sieur gebrane0 (je ne m'acharne pas, hein !)
Ainsi l'idée de vote émise par sieur gebrane0, a un sens, il ne s'agit pas de voter "$\pi =3,14$", il s'agit de nommer, abréger (j'aime pas trop ce mot) quelque chose. Ce n'est pas vrai ou faux, a priori, c'est histoire de convention.
L'histoire des mathématiques a fait que l'on a nommé ainsi quelque chose que les logiciens souhaitent affiner.
Bon, j'ai bien renforcé mes coucougnettes en écrivant ce post. J'espère ne pas m'en prendre plein la tronche, comme indiqué au début je venais dans une optique de conciliation des points de vue.
S
Il veut montrer "non B". Il suppose "B", et il arrive à l'absurde. (le "B" étant "0 a un inverse"). Ce n'est pas un raisonnement par l'absurde.
CC l'a dit et répété, je l'ai dit et répété, mais tu continues de prétendre que Gebrane veut montrer A et qu'il suppose non A pour arriver à l'absurde ("A" étant "0 n'a pas d'inverse") ; c'est faux, Gebrane ne suppose pas "non( 0 n'a pas d'inverse)" . Il suppose "0 a un inverse" ; relis-le !