[Ag. Int.] Leçon ex. d'équ. fonctionnelles
dans Analyse
Bonjour à tous,
Merci de me donner des pistes pour les leçons suivantes:
447 Exemples d?équations fonctionnelles.
426 Exemples et applications de calculs d?intégrales multiples
[Discussion scindée de celle-ci puis déplacée dans Analyse]
[Merci d'ouvrir un nouveau sujet pour commencer une nouvelle discussion. D'ailleurs, il serait bien de faire deux sujets, un pour chaque leçon. md]
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447 Exemples d?équations fonctionnelles.
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Réponses
Algèbre : un cours complet sur les équations fonctionnelles.
http://www.animath.fr/spip.php?article255
Peut-être butiner sur les messages de ce forum portant sur ce sujet.
Peut-être commencer par les équations fonctionnelles des fonctions usuelles :
- Les quatre de Cauchy : $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(xy)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$.
- Les trigo : $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ et autres.
- Quadratiques et log-quadratiques : $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))$, $f(x+y)f(x-y)=f(x)^2 f(y)^2$, $f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=f(x)f(y)$.
Voir les méthodes, par exemple le "renforcement", dont nous avons parlé il y a peu et qui consiste à transformer une équation fonctionnelle en équation différentielle, et à la faire ainsi entrer dans le champ des questions enseignées.
Préciser les conditions supplémentaires posées avec l'équation fonctionnelle.
Peut-être aller jusqu'à l'équation fonctionnelle de la fonction Gamma.
Applications : géométrie, mécanique, Probabilités,...
Il y a eu un article dans "Quadrature" n° 35, janvier-mars 1999, qui recense les équations fonctionnelles des fonctions usuelles, avec présentation des méthodes (avec une erreur d'appellation et une erreur mathématique sur la fin).
Où trouve-t-on la liste de ces leçons ?
Toujours disponible pour répondre plus précisément sur tel ou tel point.
Bon courage. Bonne journée.
F. Ch.
Mais attention, dans ces compétitions, ces équations fonctionnelles sont posées généralement sans condition supplémentaire telle que continuité, dérivabilité, etc. Ce sont seulement des exercices de manipulations algébriques, le plus souvent ardus et attractifs, mais limités dans leur objet. Je ne suis pas certain que ceci convienne pour une leçon d'agrégation.
Un exemple : trouver les fonctions continues (resp. continues par morceaux, réglées) $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que : $\forall x\in \mathbb{R}, \forall y\in \mathbb{R},\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt=f(x)f(y)$,
c'est une équation fonctionnelle, qui n'est pas purement algébrique, et qui pourrait peut-être convenir pour l'agrégation.
Ce n'est qu'un avis extérieur de quelqu’un qui n'a aucun lien avec les compétitions mathématiques ni la préparation à l'agrégation. Peut-être des collègues plus impliqués dans ces choses pourraient-ils donner leur avis.
Bonne journée.
F. Ch.
Je répète :peut-on me communiquer un lien vers la liste des leçons d'agrégation, interne comme externe ?
J'ai pondu une série d'exercices en trois parties (de mémoire) :
* Calcul direct
* Calcul d'intégrales multiples pour calculer des intégrales
* Calcul d'intégrales pour calculer des intégrales multiples.
Les exercices venaient du Gourdon d'analyse et des tomes 3 et/ou 5 de Quinet.
Mon développement portait sur le calcul de l'intégrale de Fresnel (Gourdon) si je me souviens bien.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
À maîtriser : la fonction gamma.
Et l'équation qualifiée d'ardue, à juste titre, par @YvesM.
Un fil très très (très) intéressant. Attention, c'est "simple" quand on l'a déjà cherché mais pas de source d'après moi...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1090869,page=1
Remarque : cela est un de mes projets (rédiger l'exercice en entier pour proposer un pdf). Mais dans une autre vie, peut-être...
sur le site de culture maths on trouve ceci. Un beau panorama par L. G. Vidiani. C'est une très belle synthèse qui demande un gros travail de lecture mais avec beaucoup d'exemples originaux et un bibliographie importante.
Cordialement.