série divergente...
dans Analyse
Bonjour !
j'ai regardé il y a quelques jours deux vidéos sur youtube une française l'autre anglaise qui "démontrent" l'égalité : 1+2+3+4+5+.......= -1/12 !
il parait que ce résultat est utilisé en mécanique quantique ; comment peut -on justifié ce résultat ? il paraît que c'est relié à la fonction Zéta de Riemann.
Je pense que ces "démonstrations" sont fausses car elles manipulent des sommes infinies comme des nombres.
Merci pour vos commentaires et remarques et éclaircissements
j'ai regardé il y a quelques jours deux vidéos sur youtube une française l'autre anglaise qui "démontrent" l'égalité : 1+2+3+4+5+.......= -1/12 !
il parait que ce résultat est utilisé en mécanique quantique ; comment peut -on justifié ce résultat ? il paraît que c'est relié à la fonction Zéta de Riemann.
Je pense que ces "démonstrations" sont fausses car elles manipulent des sommes infinies comme des nombres.
Merci pour vos commentaires et remarques et éclaircissements
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Réponses
Le procédé habituel de sommation des séries n'est qu'un procédé parmi d'autres, celui auquel nous sommes habitués parce que souvent on ne nous en montre pas d'autre. Mais il y a longtemps que l'on a défini d'autres procédés de sommation qui attribuent "raisonnablement" une somme à des séries qui divergent avec la définition habituelle. On a là-dessus des travaux de mathématiciens aussi éminents qu'Euler, Borel, Hardy, et aujourd'hui Ramis (Jean-Pierre).
Voir par exemple :
http://images.math.cnrs.fr/Liberte-et-formalisme-1-2-3-4-5.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_divergente
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups91.pdf
Une simple recherche sur "série divergente" avec n'importe quel moteur de recherche permet de trouver d'autres résultats.
Je pense qu'on en a déjà parlé sur ce forum
Bonne journée.
F. Ch.
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Bonne journée.
MD
J'avais montré (pour mes élèves qui m'avaient poursuivis avec ce calcul) qu'avec la même méthode, on trouve $1=0$...
1er cas - J'ai lu vaguement la théorie et je ne m'occupe jamais de problèmes de convergence.
Je sais, ou plutôt j'ai lu rapidement, que la fonction zêta de Riemann est définie par $\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ où $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$. Donc $1+2+3+4+ \dotsb = \zeta(-1)$. Je prends un logiciel de calcul et il me dit $\zeta(-1) = - \frac{1}{12}$ et le tour est joué.
2ème cas - Il y a quand même quelque chose qui m'intrigue là-dedans.
Je reprends mes cours de CPGE / L1. Il y est indiqué que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^\sigma}$ converge si $\sigma > 1$ et diverge si $\sigma \leqslant 1$. Premier problème, donc.
Pourtant, une lecture plus poussée de certains livres (comme le livre de Titchmarsh, The Theory of Functions, Oxford, 1939) indique une "espèce de prolongement" de $\zeta$ à tout le plan complexe privé de $1$. Là, je crois que je touche le fond du problème : Titchmarsh (et d'autres) m'expliquent le théorème du prolongement analytique, qui permet effectivement de prolonger $\zeta$ dans certaines conditions.
Je prends un papier et un crayon et j'essaie juste pour voir si j'ai compris : pour l'instant, je choisis $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma > 1$. Je pose $\psi(x) = x -\lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}$ et j'utilise la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin qui donne, pour tout réel $x \geqslant 1$
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{1}{n^s} = \frac{1}{2} + \frac{1-x^{1-s}}{s-1} - \frac{\psi(x)}{x^s} - s \int_1^x \frac{\psi(u)}{u^{s+1}} \, \textrm{d}u.$$
Je fais alors tendre $x$ vers $\infty$ ce qui me permet d'avoir
$$\zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} - s \int_1^\infty\frac{\psi(u)}{u^{s+1}} \, \textrm{d}u.$$
Tout cela est bien sûr parfaitement défini pour $\sigma > 1$, mais mes yeux s'attardent alors sur le $2$nd membre, et on constate avec joie qu'il est, lui, parfaitement défini pour $\sigma > 0$ avec $\sigma \neq 1$. Mieux, l'intégrale est même uniformément convergente dans toute région finie strictement à droite de la droite d'équation $\sigma = 0$.
C'est ça, le prolongement analytique : cette égalité et le théorème du prolongement analytique me permettent de prolonger méromorphiquement la fonction $\zeta$ au demi-plan $\sigma > 0$ et me montre que cette nouvelle fonction a $1$ comme pôle simple, de résidu $1$ (c'est le terme $\frac{1}{s-1}$). Bien sûr, dans la bande $0 < \sigma < 1$, la fonction $\zeta$ n'est plus définie par la série de Dirichlet ci-dessus.
On prolonge ensuite $\zeta$ à tout le plan complexe privé de $1$ à l'aide de son équation fonctionnelle, mais ça, c'est une autre histoire.
Résumé. Pour $\sigma > 1$, la fonction $\zeta$ peut être définie par sa série de Dirichlet. Si $\sigma < 1$, la fonction $\zeta$ est prolongée par une autre fonction, toujours appelée $\zeta$ par abus et parce que c'est quand même plus pratique, mais hors de question d'utiliser la série de Dirichlet dans cette région.
Ai-je été clair ?
Il est évident que lorsqu'on écrit cette égalité, elle ne signifie en aucun cas qu'en ajoutant les entiers successifs, on va obtenir quelque chose qui va avoir rapport avec $-\frac 1{12}$. Tout le monde en est bien convaincu. Donc cette égalité est une sorte de jeu de mots, ici un jeu de notations mathématiques, où le premier membre s'est complétement éloigné de son sens habituel de somme illimitée.
Cordialement.
Je suis sûr qu'on peut montrer aussi que $20=0$ de la sorte, c'est nettement plus comique à mon sens. X:-(
PS:
Merci à Noix de totos pour ses explications.
Oui, en effet. (tu)
Je tiens à signaler que ce n'est pas le cas...