Propriété sur $\sim$

Educ · February 2016

Bonjour,

j’espère que vous allez bien, comment ils ont fait pour passer de la $ x+\sqrt[3]{x}\sim _{+\infty} x $ à la $\left( x+\sqrt[3]{x} \right)^{1/3}\sim _{+\infty} x^{1/3} $

ce que je sais :

Etant donnée $f(x)\sim_{x_{0}} g(x)$ avec f et g sont deux fonctions strictement positives alors on a :

$$\forall \alpha \in \mathbb{R}^{*},\quad f(x)\sim_{x_0} g(x) $$

mais dans l'exemple $ x \mapsto x$ n'est pas fonction strictement positives. Merci d'avance

P.S: Admin ca fait plus d'un mois que à chaque fois j'ai écrit quelque chose en tex il me affiche une barre vertical a la fin de la formule mathématique est ce qu'il y a une problème en Mathjax. Merci d'avance

MrJ · February 2016

Vérifier avec la définition d'équivalence que cela marche. Cela marche avec les propriétés de la racine cubique.

gerard0 · February 2016

Bonsoir Educ.

le fait que la règle de ton cours impose que les fonctions soient positives n'interdit pas qu'elle puisse marcher dans d'autre cas !
Tu peux examiner $\sqrt[3]{f(x)}$ et $\sqrt[3]{g(x)}$ quand $f(x) \sim_a g(x)$
(l'avantage de la racine cubique, c'est qu'elle est définie aussi sur les négatifs).

Cordialement.

Educ · February 2016

Bonsoir,

@MrJ @gerard0 donc cela ca marche avec les propriété de la racine cubique mais pour les autres cas je dois être vérifie que le critère de strictement positive ou bien je vérifie le résultat par la définition de l’équivalence
svp tu peux me cite d'autre racine dont cette propriété ca marche bien

Merci beaucoup

gerard0 · February 2016

Pour toutes les racines d'ordre impair, on n'a pas besoin de positivité. La condition de ton bouquin (ou cours) ne vient que du fait qu'on prend toutes les valeurs $\alpha$ non nulles comme exposant, donc qu'on utilise la définition avec un ln.
As-tu rédigé une preuve ?

Educ · February 2016

Bonsoir,

@gerard0 C'est un bouquin ( Dunod ) , non je n'ai rien rédigé. le rédacteur du bouquin a évoqué cette propriété dans le chapitre des suites en revanche pour le chapitre des fonctions il a dit que on trouve les même propriété d’équivalence que celle pour les suites

Merci d'avance

gerard0 · February 2016

La troisième partie de la proposition est bizarre, car pour $\alpha=\pi$, si l'une des suites n'est pas strictement positive, sa puissance $\alpha$ n'existe pas !! C'est une rédaction un peu "légère".

Mais surtout, les extensions des puissances aux négatifs posent problème, et l'usage des fonctions racine n-ième est à connaître.

Pour la preuve, avec la définition "quotient", c'est immédiat; mais ça impose à une des deux suites de ne jamais être nulle. La bonne définition ($u_n=v_n+o(v_n)$) rend le travail nettement plus pénible (mais tout à fait faisable).

Cordialement.

Educ · February 2016

Bonsoir,

> La troisième partie de la proposition est bizarre, car pour $\alpha=\pi$, si l'une des suites n'est pas strictement positive, sa puissance $\alpha$ n'existe pas !! C'est une rédaction un peu "légère".

si j'ai bien compris je ne pense pas qu'il y a de problème car il a dit que Si partir d'un certain rang $u_n>0$ et $v_n>0$ alors pour tout $\alpha \in \mathbb{R}, u_n^{\alpha}\sim v_n^{\alpha}$ donc les deux à la fois sont strictement non nuls partir d'un certain rang

> Pour la preuve, avec la définition "quotient", c'est immédiat; mais ça impose à une des deux suites de ne jamais être nulle. La bonne
définition ($u_n=v_n+o(v_n)$) rend le travail nettement plus pénible (mais tout à fait faisable).

oui car $u_n \sim v_n \iff u_n-v_n=o(v_n)$

Merci d'avance

gerard0 · February 2016

Voyons donc ! Tu considères les suites $u_n=n^2+1$ et $v_n=n^2-2000n$. La suite $u_n^{\pi}$ existe sans problème, mais que valent $v_0^{\pi}, v_1^{\pi}, v_2^{\pi}$ ????

Dom · February 2016

C'est en effet une manière de dire "à partir d'un certain rang" les suites sont définies et on a l'équivalence.

On a aussi ce genre de chose pour la convergence uniforme de fonctions : le sup de $f_n-f$ peut ne pas exister pour les premiers indices.

Ça manque un poil de rigueur. Mais puisqu'on parle d'équivalence, c'est bien au voisinage de l'infini.

Après avoir fait l'avocat du diable, je précise qu'il ne m'arriverait pas de rédiger cela comme ça ;-)

Educ · February 2016

@gerard0 oui je te comprend, et si je me souviens bien c’était toi je pense que tu m'adit que je dois changer le bouquin

@Dom l'avocat du diable

Merci beaucoup pour vos explications

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