Conservation d'une inégalité stricte à la lim

Balix · February 2016

Bonjour
Pour démontrer l'unicité du développement décimal propre d'un réel, je trouve comme argument dans les démonstrations

Donc l'argument me semble être que comme une infinité de b_i sont < 9 , alors on garde l'inégalité stricte sur la somme.

Je me demande, quel est le résultat sous-jacent utilisé pour gardé la stricte inégalité ? 48965

Dom · February 2016

En effet, l'égalité n'a lieu que si tous les $b_i$ sont égaux à $9$ à partir d'un certain rang.

Il est précisé "le développement" est propre ce qui signifie qu'on n'est pas dans le cas où l'un des développements ne contient que des $9$ (à partir d'un certain rang).

Balix · February 2016

Même sur une somme infinie, ça pose pas de problème ?

Avec une infinité de b_i égaux à 9 sans que la suite soit stationnaire, ça marche quand même ?

Dom · February 2016

Cependant le raisonnement n'est pas finalisé.
L'idée est de trouver une contradiction.

Dom · February 2016

Si j'ai bien compris ce qui est dit :
Tous les $b_i$ sont inférieurs ou égaux à 9 et comme le développement est propre l'inégalité est stricte pour une infinité de $b_i$.
On pourrait dire de manière équivalente : il existe une sous-suite $(b_{\phi(i)})$ dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à 8.

Pour répondre à la dernière question : oui, on peut avoir une infinité de $b_i$ égaux à 9, par exemple : 0,9090909090...
C'est un développement propre.

Balix · February 2016

ok merci .
Donc y'a pas un théorème de passage à la limite d'une somme qui garderait la stricte inégalité que j'aurai oublié ? C'était surtout ça qui me turlupinait.

Dom · February 2016

Ok.
Il faut dans ce cas évaluer la minoration (même si moi je préfère des majorations mais bon c'est pas important).
Réfléchir "au pire" ce qui peut se passer et le raisonnement redevient "normal". L'inégalité large à la limite permet d'avoir une " limite maximale strictement inférieur" à ce que l'on veut. (J'espère être clair).

gb · February 2016

Bonjour,

Je note: $c_i = 9-b_i$.
\[\sum_{i=i_0+1}^\infty \frac{b_i}{10^i} = \sum_{i=i_0+1}^\infty \frac{9}{10^i} - \sum_{i=i_0+1}^\infty \frac{c_i}{10^i} = \frac{1}{10^{i_0}} - S\]
où, en tant que somme d'une série à termes positifs:
\[S = \sup_{i_0+1\leqslant p \leqslant q} \sum_{i=p}^q \frac{c_i}{10^i}.\]

Donc la somme $S$ est nulle si, et seulement si toutes les sommes partielles, en particulier tous les termes de la série, non nulles. Mais si les $c_i$ sont nuls, les $b_i$ sont égaux à 9 et le développement est impropre.

Dom · February 2016

Le théorème 4.5 de ce document semble plus précis sur le passage à cette inégalité.
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/Capes/AnalyseChap4.pdf

gebrane · February 2016

Bonjour,
une question
gb=gerard0?

Aleg · February 2016

Non, gb (que je salue !) est l'un des membres "historiques" de ce forum, dont les interventions ont toujours été d'une grande qualité, et qu'hélas on ne voyait plus guère ces derniers temps..
Peut-être enfin son grand retour..??