Conservation d'une inégalité stricte à la lim
Bonjour
Pour démontrer l'unicité du développement décimal propre d'un réel, je trouve comme argument dans les démonstrations
Donc l'argument me semble être que comme une infinité de b_i sont < 9 , alors on garde l'inégalité stricte sur la somme.
Je me demande, quel est le résultat sous-jacent utilisé pour gardé la stricte inégalité ?
Pour démontrer l'unicité du développement décimal propre d'un réel, je trouve comme argument dans les démonstrations
Donc l'argument me semble être que comme une infinité de b_i sont < 9 , alors on garde l'inégalité stricte sur la somme.
Je me demande, quel est le résultat sous-jacent utilisé pour gardé la stricte inégalité ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il est précisé "le développement" est propre ce qui signifie qu'on n'est pas dans le cas où l'un des développements ne contient que des $9$ (à partir d'un certain rang).
Avec une infinité de bi égaux à 9 sans que la suite soit stationnaire, ça marche quand même ?
L'idée est de trouver une contradiction.
Tous les $b_i$ sont inférieurs ou égaux à 9 et comme le développement est propre l'inégalité est stricte pour une infinité de $b_i$.
On pourrait dire de manière équivalente : il existe une sous-suite $(b_{\phi(i)})$ dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à 8.
Pour répondre à la dernière question : oui, on peut avoir une infinité de $b_i$ égaux à 9, par exemple : 0,9090909090...
C'est un développement propre.
Donc y'a pas un théorème de passage à la limite d'une somme qui garderait la stricte inégalité que j'aurai oublié ? C'était surtout ça qui me turlupinait.
Il faut dans ce cas évaluer la minoration (même si moi je préfère des majorations mais bon c'est pas important).
Réfléchir "au pire" ce qui peut se passer et le raisonnement redevient "normal". L'inégalité large à la limite permet d'avoir une " limite maximale strictement inférieur" à ce que l'on veut. (J'espère être clair).
Je note: \(c_i = 9-b_i\).
\[\sum_{i=i_0+1}^\infty \frac{b_i}{10^i} = \sum_{i=i_0+1}^\infty \frac{9}{10^i} - \sum_{i=i_0+1}^\infty \frac{c_i}{10^i} = \frac{1}{10^{i_0}} - S\]
où, en tant que somme d'une série à termes positifs:
\[S = \sup_{i_0+1\leqslant p \leqslant q} \sum_{i=p}^q \frac{c_i}{10^i}.\]
Donc la somme \(S\) est nulle si, et seulement si toutes les sommes partielles, en particulier tous les termes de la série, non nulles. Mais si les \(c_i\) sont nuls, les \(b_i\) sont égaux à 9 et le développement est impropre.
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rombaldi/Capes/AnalyseChap4.pdf
une question
gb=gerard0?
Peut-être enfin son grand retour..??
Bon retour gb
Non, Gebrane0, je ne suis pas Gb, à qui je dois quelques leçons profondes.
Cordialement.