Application bilinéaire continue

SinusSlide · February 2016

Bonjour,

Ma question porte sur l'image jointe.

Je ne comprends pas comment il conclue à partir de la dernière ligne :

1)Tout d'abord en ce qui concerne l'image, il veut montrer qu'elle est lipschitzienne donc que la proposition finale est vraie pour tout (x,y) ,(x0,y0).
Or dans son raisonnement, il dit ||x|| est borné au voisinage de (x0,y0) et donc il existe M... mais quand est-il en dehors de ce voisinage ? la proposition finale doit rester vraie en dehors de ce voisinage également... ?? Comment faire donc pour conclure en dehors de ce voisinage ?

2)Je ne comprend pas non plus la dernière inégalité finale : en admettant qu'il utilise la norme "classique" sur les EV produits ; cela signifie t'il que la définition d'une application lipschitzienne est vraie quelle que soient les normes prises E,F et G ? Pourtant rien ne précise que l'on est en dimension finie et donc que les normes s'équivalent ?? Cela ne pose pas de problème ?

Merci bien ! 49329

MrJ · February 2016

1) Tu t'intéresses à la continuité, donc tu fais tendre $(x,y)$ vers $(x_0,y_0)$, donc peu importe ce qui se passe en dehors de ton voisinage.

2) La norme utilisée sur $E\times F$ est $\|(x,y)\|=\max(\|x\|,\|y\|)$, donc la dernière inégalité est une égalité. Il manque un $M$ d'ailleurs.

Julia Paule · January 2021

Bonjour,

Je ne suis pas convaincue par la fin de cette démonstration. En effet, on veut montrer que $\varphi$ est lipschitzienne, i.e. :

$\exists M >0, \forall (x,y), (x_0,y_0) \in E \times F, \| \varphi(x,y) -\varphi(x_0,y_0) \| \leq M \| (x-x_0,y-y_0) \| = M \max(\|x-x_0\|,\|y-y_0\|)$.

L'argument proposé est $\| x \| $ est borné au voisinage au $\| x_0, y_0 \| $ ? Or on a supposé $(x,y), (x_0,y_0)$ quelconques dans $E \times F$. Donc cet argument ne me semble pas valable.

Sinon, comment montrer qu'une application bilinéaire est continue, éventuellement sur $E \times F$, espaces vectoriels normés de dimension finie (car une application linéaire est continue sur un espace vectoriel de dimension finie).

Merci d'avance.

Julia Paule · January 2021

Ce fil est à déplacer dans le forum Analyse il me semble.

Julia Paule · January 2021

Oui bon, c'est un joyeux mélange entre $M$-lipschitzienne et continue. Pour montrer la réciproque, on peut montrer directement que $\varphi$ est continue avec :
$ \|(x-x_0, y-y_0) \| \leq \eta \Rightarrow \| \varphi(x,y) -\varphi(x_0,y_0) \| \leq K \eta (\|x_0 \| + \eta + \| y_0 \|) \leq \varepsilon$, en prenant $\eta$ suffisamment petit.

Donc la proposition est vraie. De là, comment montre-t-on maintenant que toute application bilinéaire d'un produit d'espaces vectoriels normés (de dimension finie) dans un e.v.n. est continue ?

ev · January 2021

Bonjour Julia.

Il suffit de démontrer qu'elle est bornée sur une biboule. Pour cela tu prends une bibase et tu développes.

Au moment de servir, tu choisis une norme adaptée au décor.

amicalement,

e.v.

Julia Paule · January 2021

Ok merci ev. Cela ne présente pas de difficulté.

NoName · January 2021

$\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}$On peut aussi se passer de calculs en fait.
Une application bilinéaire sur un espace de dimension finie à valeur dans un espace de dimension finie est continue car elle se factorise comme $$E\times F\to \Hom(F, T)\times F\to T$$
Enfin en toute rigueur il faut s'assurer que l'application naturelle $ F\to \Hom(F, T) \to T$ est continue, mais cela vient par exemple du fait que la convergence normale implique la convergence ponctuelle ou que l'évaluation est polynomiale ou encore de la proposition.

Le resultat reste vraie si $T$ est de dimension infinie, car $E\times F\to T$ se factorise à travers un espace de dimension finie.

Julia Paule · January 2021

Ok merci NoName.

Application bilinéaire continue

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