Série entière et dénombrement

Si $A,B,C$ sont des variables aléatoires indépendantes avec
- $A+1\sim\mathcal{G}(1-1/2)$
- $B+1\sim\mathcal{G}(1-1/2^5)$
- $C+1\sim\mathcal{G}(1-1/2^{10})$
on pose $S=A+5B+10C$.
Les fonctions génératrices sont
$F_A(x)=\frac{1-1/2}{1-x/2}$, $F_B(x)=\frac{1-1/2^5}{1-x/2^5}$, $F_C(x)=\frac{1-1/2^{10}}{1-x/2^{10}}$.
Par indépendance
$F_{S}(x)=F_{A}(x)F_{5B}(x)F_{10C}(x)=F_A(x)F_B(x^5)F_C(x^{10})=\frac{(1-1/2)(1-1/2^{5})(1-1/2^{10})}{(1-x/2)(1-(x/2)^5)(1-(x/2)^{10})}$.
D'autre part, en découpant suivant les cas, on obtient $P(A+B+10C=n)=(1-1/2)(1-1/2^{5})(1-1/2^{10})|A_n| 2^{-n}$,
d'où $F_S(x)=\sum_{n\ge 0} (1-1/2)(1-1/2^{5})(1-1/2^{10})|A_n| (x/2)^n$, ce qui donne l'identité voulue.

Bien sûr, il faut savoir que le produit des fonctions génératrices de deux variables indépendantes est celle de la somme, mais pour ça on n'a besoin que du produit de Cauchy.