Une équation aux dérivées partielles
Bonjour,
Soit $f \in C^{1}(R^{2}, R)$. On suppose qu'il existe $(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}$ tel que $f(x_{0}, y_{0}) = 0$ et que $|\frac{\partial f}{\partial y}| > |\frac{\partial f}{\partial x}|$. On cherche $\phi \in C^{1}(R, R)$ tel que $\phi(x_{0}) = y_{0}$ et tel que $\forall x \in R, f(x, \phi(x)) = 0$.
Suposons l'existence d'une telle fonction elle vérifie $\phi(x_{0}) = y_{0}$. En dérivant on obtient necessairement(avec l'inegalite stricte.). $\forall x \in R, \phi'(x) =
\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x, \phi(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x, \phi(x))} = F(x, \phi(x))(1)$.
Ou $F = \frac{\partial_{x}f}{\partial_{y}f} \in C^{0}(R^{2}, R)$.
Réciproquement si une telle fonction vérifie (1) et vérifie $\phi(x_{0}) = y_{0}$ alors $\forall x \in R, f(x, \phi(x)) = cst = f(x_{0}, y_{0}) = 0$. Donc le problème se ramène à résoudre (1).
Je n'ai pas d'idée si ce n'est le théorème de Péano. Mais ce dernier ne donne qu'une solution locale.
Pouvez- vous m'aider, je vous prie?
Merci d'avance et bonne après midi:-).
Soit $f \in C^{1}(R^{2}, R)$. On suppose qu'il existe $(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}$ tel que $f(x_{0}, y_{0}) = 0$ et que $|\frac{\partial f}{\partial y}| > |\frac{\partial f}{\partial x}|$. On cherche $\phi \in C^{1}(R, R)$ tel que $\phi(x_{0}) = y_{0}$ et tel que $\forall x \in R, f(x, \phi(x)) = 0$.
Suposons l'existence d'une telle fonction elle vérifie $\phi(x_{0}) = y_{0}$. En dérivant on obtient necessairement(avec l'inegalite stricte.). $\forall x \in R, \phi'(x) =
\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x, \phi(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x, \phi(x))} = F(x, \phi(x))(1)$.
Ou $F = \frac{\partial_{x}f}{\partial_{y}f} \in C^{0}(R^{2}, R)$.
Réciproquement si une telle fonction vérifie (1) et vérifie $\phi(x_{0}) = y_{0}$ alors $\forall x \in R, f(x, \phi(x)) = cst = f(x_{0}, y_{0}) = 0$. Donc le problème se ramène à résoudre (1).
Je n'ai pas d'idée si ce n'est le théorème de Péano. Mais ce dernier ne donne qu'une solution locale.
Pouvez- vous m'aider, je vous prie?
Merci d'avance et bonne après midi:-).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Le théorème des fonctions implicites permet de résoudre ton problème localement puisque $f(x_{0}, y_{0}) = 0$ et $|\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$
mais je ne connais pas une version globale de ce theoreme
Aparemment y a une erreur on m'a dit que on se trompe en demandant $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ : $ f(x,y) = x^2+y^2-1$.
Ensuite, comme le dit Gebrane, le résultat fait penser directement au théorème des fonctions implicites, qui est local. Si tu es sûr que cet énoncé se "globalise", une idée pour le faire serait de montrer que la solution à $(1)$ se prolonge sur $\R$ en utilisant des estimations du type Gronwall à l'aide de l'inégalité que tu as sur les dérivées partielles. Cette inégalité te dit entre autres que $|\phi'| <1$ sur son domaine de définition, donc en particulier $\phi'$ est bornée. On peut essayer de s'en servir pour montrer que la solution doit se prolonger à $\R$.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Sans construction explicite d'un prolongement je vois mal comment faire ; les inégalités de Gronwall ne me fourniront que des estimations en vu inégalités sur les dérivées (que tu as écrites.).
Je précise que dans ce qui précède le mot "diverger" est à comprendre au sens non bornée.
Avez vous une idée je vous prie ?
Et d'autre version(que le lemme sur les sorties de compactes.). qui donne des informations sur les solutions maximum je vous prie?