Famille sommable et série

Maintenant, dans le même corrigé, j'ai un autre souci!
Je rappelle les éléments :
1) $\sum a_n$ est une série réelle semi-convergente
2) Notons $A$ l'ensemble des indices tels que $a_n \geqslant 0$ et $B$ l'ensemble des indices tels que $a_n < 0$
3) Les ensembles $A$ et $B$ sont infinies
4) On veut montrer que $(a_n)_{n \in A}$ n'est pas sommable.
On suppose que $(a_n)_{n \in A}$ est sommable.
On pose $a'_n=a_n$ si $a_n \geqslant 0 $ et $a'_n=0$ si $a_n < 0 $, la série $\sum a'_n$ est absolument convergente puisque $(a_n)_{n \in A}$ est sommable.
Voici mon souci : Donc la série $\sum (a'_n-a_n)$ est absolument convergente (je ne comprends pas !)

Merci pour votre aide.

Je ne comprends malheureusement toujours pas !
Si je veux utiliser un critère de comparaison, on a $\forall n \in \N, |a'_n-a_n| \leqslant |a_n|$.
Mais la série $\sum_{n \in \N} |a_n|$ ne converge pas.
Alors pourquoi $\sum |a'_n-a_n|$ converge?

La série $\sum a'_n$ converge car $\sum_{n=0}^{+\infty}a'_n = \sum_{n \in A}a_n < \infty$ car $(a_n)_{n \in A}$ sommable.

J'y avais pensé mais $(a_n)_{n \in B}$ n'est pas sommable, enfin a priori on ne sait pas.

gb écrivait:

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> Premier point : si \((a_n)\) est sommable, alors \((-a_n)\) est sommable.

OK

> Deuxième point : on ne conserve que les termes positifs. On obtient :
> — si \((a_n)\) est sommable, alors \({(a_n)}_{n\in A}\) est sommable ;

ça n'est pas clair pour moi

— si \((-a_n)\) est sommable, alors \({(-a_n)}_{n\in B}\) est sommable.

ça n'est pas clair pour moi

J'ai besoin que tu précises les indices des familles sommables.

gb a écrit:

> La série $\sum (a'_n-a_n)$ converge car
> $\sum_{n=0}^{+\infty}(a'_n-a_n) = \sum_{n \in
> B}(-a_n)< \infty$ car $(-a_n)_{n \in B}$ sommable.

Pourquoi $(-a_n)_{n \in B}$ est sommable?
Par ailleurs, si on suppose $(-a_n)_{n \in B}$ est sommable, alors $(a_n)_{n \in B}$ est sommable et ça rien ne le prouve.
D’ailleurs, dans l'exercice il faudra prouver que $(a_n)_{n \in B}$ n'est pas sommable, justement avec le même type de raisonnement que pour montrer que $(a_n)_{n \in A}$ n'est pas sommable.

Alors pourquoi la série $\sum (a'_n-a_n)$ converge absolument ? Je suis sûr que c'est simple mais je ne vois vraiment pas !

Merci pour votre aide.