Famille sommable et série
Bonsoir,
j'ai un doute sur un corrigé. On a $\sum a_n$ une série réelle semi-convergente.
Il est marqué:
La série $\sum a_n$ n'est pas absolument convergente (ça ok!) donc la famille n'est pas sommable.
C'est faux, non ? La famille est sommable mais elle n'est pas absolument sommable, non?
Merci pour votre aide.
j'ai un doute sur un corrigé. On a $\sum a_n$ une série réelle semi-convergente.
Il est marqué:
La série $\sum a_n$ n'est pas absolument convergente (ça ok!) donc la famille n'est pas sommable.
C'est faux, non ? La famille est sommable mais elle n'est pas absolument sommable, non?
Merci pour votre aide.
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Réponses
Quand on parle de famille sommable, alors sauf erreur la série est commutativement convergente (l'ordre ne doit pas compter dans la sommation, on somme sur un ensemble, pris comme tel).
Puis, on démontre qu'une série commutativement convergente est une série absolument convergente (et réciproquement).
Je précise $\R$ ou $\C$: rectification
$\sum a_n $ converge absolument $\Leftrightarrow \sum a_n$ converge commutativement $\Leftrightarrow$ la famille $(a_n)$ est sommable.
Merci
Je rappelle les éléments :
1) $\sum a_n$ est une série réelle semi-convergente
2) Notons $A$ l'ensemble des indices tels que $a_n \geqslant 0$ et $B$ l'ensemble des indices tels que $a_n < 0$
3) Les ensembles $A$ et $B$ sont infinies
4) On veut montrer que $(a_n)_{n \in A}$ n'est pas sommable.
On suppose que $(a_n)_{n \in A}$ est sommable.
On pose $a'_n=a_n$ si $a_n \geqslant 0 $ et $a'_n=0$ si $a_n < 0 $, la série $\sum a'_n$ est absolument convergente puisque $(a_n)_{n \in A}$ est sommable.
Voici mon souci : Donc la série $\sum (a'_n-a_n)$ est absolument convergente (je ne comprends pas !)
Merci pour votre aide.
Tout simplement :
\[a'_n - a_n = \begin{cases} 0 & \text{si } a_n \geqslant 0 \\ \lvert a_n \rvert & \text{si } a_n < 0 \end{cases}\]
donc la série \(\sum(a'_n-a_n)\) est absolument convergente pour la même raison que la série \(\sum a'_n\).
Si je veux utiliser un critère de comparaison, on a $\forall n \in \N, |a'_n-a_n| \leqslant |a_n|$.
Mais la série $\sum_{n \in \N} |a_n|$ ne converge pas.
Alors pourquoi $\sum |a'_n-a_n|$ converge?
Deuxième point : on ne conserve que les termes positifs. On obtient :
— si \((a_n)\) est sommable, alors \({(a_n)}_{n\in A}\) est sommable ;
— si \((-a_n)\) est sommable, alors \({(-a_n)}_{n\in B}\) est sommable.
Où est le problème ?
> Premier point : si \((a_n)\) est sommable, alors \((-a_n)\) est sommable.
OK
> Deuxième point : on ne conserve que les termes positifs. On obtient :
> — si \((a_n)\) est sommable, alors \({(a_n)}_{n\in A}\) est sommable ;
ça n'est pas clair pour moi
— si \((-a_n)\) est sommable, alors \({(-a_n)}_{n\in B}\) est sommable.
ça n'est pas clair pour moi
J'ai besoin que tu précises les indices des familles sommables.
Sauf "par défaut", en suivant tes notations quand tu rappelles les points clés du problème, tu n'as pas précisé l'ensemble de sommation ($\sup a_n$ par exemple).
J'imagine que c'est $\mathbb N$ l'ensemble d'indice des $a_n$...? (Dans un message $\mathbb N$ est bien indiqué).
Pourquoi $(-a_n)_{n \in B}$ est sommable?
Par ailleurs, si on suppose $(-a_n)_{n \in B}$ est sommable, alors $(a_n)_{n \in B}$ est sommable et ça rien ne le prouve.
D’ailleurs, dans l'exercice il faudra prouver que $(a_n)_{n \in B}$ n'est pas sommable, justement avec le même type de raisonnement que pour montrer que $(a_n)_{n \in A}$ n'est pas sommable.
Alors pourquoi la série $\sum (a'_n-a_n)$ converge absolument ? Je suis sûr que c'est simple mais je ne vois vraiment pas !
Merci pour votre aide.
Dans l'exercice, dès le début on montre ( et je l'ai précisé) que $(a_n)_{n \in \N}$ n'est pas sommable.
Donc à quoi ça me sert c'est la proposition:
Si $(a_n)_{n \in \N}$ est sommable, alors $({(a_n)}_{n\in A})$ est sommable ??
Merci pour votre aide.
Les séries \(\sum a'_n\) et \(\sum (a'_n-a_n)\) sont à termes positifs : leur absolue convergence n'est autre que leur convergence.
Je peux le résumer ainsi :
$\sum a'_n$ est une série convergente
$\sum a_n$ est une série convergente (mais seulement semi-convergente)
Donc la série $\sum (a'_n - a_n)$ est convergente.
Or $\forall n \in \mathbb{N} a'_n - a_n \geqslant 0$, donc la série $\sum (a'_n - a_n)$ est absolument convergente.
C'est bon cette fois-ci?
Grand merci gb, c'était simple mais j'étais complètement dans le flou !