Inversions des bornes d'une intégrale
Suite à une discussion avec mes collègues, j'ai un souci avec cette formule
pour a < b $$\int_{a}^{b}f(x)dx =-\int_{b}^{a}f(x)dx $$
Disons pour une intégrale de Riemann, je sais comment on définit l'intégrale sur un intervalle [a;b] , mais [b;a] n'est pas un intervalle, c'est vide .
Donc $$\int_{b}^{a}f(x)dx $$ n'a à priori aucun sens.
Je voudrais donc savoir comment on définit cette intégrale rigoureusement ?
- Par définition avec la formule que j'ai donnée ? et après on vérifie que toutes les propriétés qui marchent avec l'intégrale sur un intervalle [a;b] , a<b se transportent?
- Ou alors ça découle d'autre chose , et on en déduit que $$\int_{a}^{b}f(x)dx =-\int_{b}^{a}f(x)dx $$ ?
pour a < b $$\int_{a}^{b}f(x)dx =-\int_{b}^{a}f(x)dx $$
Disons pour une intégrale de Riemann, je sais comment on définit l'intégrale sur un intervalle [a;b] , mais [b;a] n'est pas un intervalle, c'est vide .
Donc $$\int_{b}^{a}f(x)dx $$ n'a à priori aucun sens.
Je voudrais donc savoir comment on définit cette intégrale rigoureusement ?
- Par définition avec la formule que j'ai donnée ? et après on vérifie que toutes les propriétés qui marchent avec l'intégrale sur un intervalle [a;b] , a<b se transportent?
- Ou alors ça découle d'autre chose , et on en déduit que $$\int_{a}^{b}f(x)dx =-\int_{b}^{a}f(x)dx $$ ?
Réponses
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Bonsoir Balix.
La bonne question est : Comment définit-on $\int_a^b f(x)\,dx$ ?
Quand on se contentait de le définir à l'aide d'une primitive de f : $\int_a^b f(x)\,dx=g(b)-g(a)$ où g est une primitive de f, pas de problème et la formule que tu cites est évidente. Dans toutes les applications où on aura éventuellement besoin de retrouver ça, on voudra donc le retrouver.
Dans des calculs avec l'intégrale de Riemann ou Lebesgue, on n'aura généralement pas besoin de ce type d'écriture, donc on peut laisser de côté. Mais il arrive que ce soit pratique, donc il suffit de définir $\int_a^b f(x)\,dx$ comme l'intégrale sur [a,b] si $a\le b$, moins cette intégrale si a>b. Je te laisse vérifier que l'on retrouve les propriétés classiques.
Cordialement. -
Donc on pose par définition, ok.Dans des calculs avec l'intégrale de Riemann ou Lebesgue, on n'aura généralement pas besoin de ce type d'écriture, donc on peut laisser de côté.
Dans le cas d'un changement de u variable décroissant, on se retrouve avec des bornes u(a) > u(b) non ? -
Arf...coquin !
Selon la définition choisie, le segment est bien vide ! -
Je me posais la question sur la definition d'un intervalle oui, celle que j'ai dans la tête , c'est [a,b] = { x réels, tels que a<= x <= b}, après , le sens de parcours n'a pas vraiment d'importance, au niveau de la convexité, donc avec une définition plus générale d'un intervalle, mon problème de borne ne se pose plus.
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sur un logiciel assez connu, voici le résultat d'un petit calcul de l'indicatrice sur une partie de $\mathbb{Z}$ :
- $\text{sum(1,0..2)} = 3$
- $\text{sum(1,2..0)} = 0$ :-( ... quoi en penser ??? -
Ajout : on prend une intégrale sur quelque chose d'orienté. Le segment orienté de $a$ à $b$ (intégrale $\int_a^b$), ce n'est pas la même chose que le segment orienté de $b$ à $a$ (intégrale $\int_b^a$).
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C'est normal . Le sum n'est pas une intégrale sur une 1-chaîne orientée, ça n'a rien à voir.
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Cependant, l'intégrale de Lebesgue ne se conçoit pas sur un intervalle mais sur un ensemble (pris dans le sens qu'on veut et même à une bijection près, non ?).
Je m'interroge, n'a-t-on pas : $\int_{[a,b]} f=\int_{[b,a]} f$ ? :-S -
@Dom : Pour l'intégrale de Lebesgue, bien sûr. Quand on intègre une fonction positive contre une mesure positive, on préfère obtenir un résultat positif. Le problème est que le même signe d'intégrale est utilisé avec des significations différentes. Enfin, problème, c'est un bien grand mot pour pas grand chose malgré tout.
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Je plussoie Remarque : $\int_{[a,b]} $ intégrer une fonction contre la mesure de Lebesgue, $\int_a^b$ intégrer une 1-forme sur une 1-chaîne orientée.
Bon, pas la peine de traumatiser les gens avec ça, il suffit de dire que $\int_b^a = -\int_a^b$ par convention pour faire marcher Chasles les yeux fermés (derrière Chasles, n'y a-t-il pas l'idée d'orientation ?).
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