Quelques questions sur les séries numériques

Pour commencer, on n'a pas toujours $u_{n+1}$ équivalent à $u_n$, par exemple si $u_n = n!$, alors le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n} = n+1$ ne tend évidemment pas vers 1.

2) Si deux fonctions sont équivalentes au voisinage d'un point, alors la limite du rapport tend vers 1, donc, dans un voisinage suffisamment proche de ce point, le rapport des deux fonctions sera $> 1/2$ (vu qu'il arrive à 1 il finira par dépasser 1/2). Si tu ne le vois pas directement, tu peux simplement appliquer la définition de la limite du rapport = 1 en prenant "$\epsilon = 1/2"$.

3) Avec la "règle de Riemann", effectivement pour des suites réelles ou complexes comme tu l'as remarqué la convergence absolue implique la convergence, donc dans le cas de convergence tu peux te passer de l'hypothèse de positivité de la suite. La positivité est par contre cruciale pour le cas de divergence, tu as l'aire de l'avoir bien compris. Ton raisonnement est vrai (à moi que j'ai lu trop vite, mais tout a l'air bon, c'est la démo classique). On peut avoir plus de précision par exemple en comparant avec des séries de Bertrand (tu peux chercher sur wikipedia), on a alors des "corrections logarithmiques", mais là encore, le cas de divergence est lié à la positivité. De toute façon tu ne peux pas te passer de l'hypothèse de positivité car par exemple la série de terme général $1/n$ diverge alors que celle de terme général $(-1)^n/n$ converge, et les hypothèses de domination du type de celui de Riemann ne "voient" pas le signe, ils traitent de la même manière une série de terme général $u_n$ et la série de terme général $|u_n|$.

4) Pour des nombres premiers $p$, on a $d_p =1$, donc il existe une infinité d'entiers (les nombres premiers) tels que $\frac{1}{d_p} = 1$, donc la série diverge grossièrement. (son terme général ne tend pas vers zéro).


5) La règle de d'Alembert est surtout un outil pour les séries entières, c'est pour cela qu'elle n'est pas très précises pour les séries numériques. Il ne faut pas que tu joues avec les $1^+$ et $1^-$, on fait facilement des erreurs comme ça.

Si ta limite est "$1^-$" (ça n'a pas vraiment de sens...), je suppose que tu veux dire qu'à partir d'un certain rang ton rapport devient $<1$ mais tend vers 1. On oublie les premiers termes car ils ne changent pas la nature de la série, ceci équivaut à $|U_{n+1}| < |U_n|$, et la limite du rapport est 1. On ne peut pas du tout conclure car là encore, si $U_n = 1/n$ l'hypothèse est vérifiée avec divergence de la série, et si $U_n = (-1)^n/n$ l'hypothèse est vérifiée avec convergence de la série, et même : $U_n = 1/n^2$, l'hypothèse est vérifiée avec convergence absolue !

Concernant les limites $1^+$ ça veut dire que la suite (à partir d'un certain rang) vérifie $|U_{n+1}| > |U_n|$ avec le rapport tend vers 1. Mais dans ce cas la divergence est grossière car si $k$ est le rang à partir duquel tu as l'inégalité, pour tout $n \geq k$ : $|U_n| > |U_k| >0$ , donc la suite ne peut pas tendre vers zéro, donc divergence grossière.

Je te conseille de ne pas trop chercher à affiner d'Alembert, le résultat est très grossier et tout ce que tu peux en tirer tu peux l'avoir directement avec d'autres méthodes. La règle de d'Alembert est beaucoup plus utile dans le monde des séries entières.


6) La suite que tu mentionnes est alternée car simplement $ln(1+x)$ est de même signe que $x$ lorsque $x \in\, ]-1, +\infty[$. La suite change donc de signe suivant la parité de $n$, et vérifie exactement la condition que tu as mentionnée.

@ Gérard, je n'avais pas vu le point 7) : je pense que pour les séries aussi ça se fait en prenant par exemple $f(x) = |x|$ ^^.

Concernant ta question sur le critère de Riemann, oui c'est bien une conséquence, donc plus la peine de le faire comme hypothèse. En pratique on n'écrit pas autant de raffinements car en général on voit directement quand la série est à termes positifs, et du coup ce n'est pas toujours très utile de faire des formulations où la positivité est une conséquence.

Concernant l'idée de faire la différence des quotients, je pense que ça s'inscrit surtout dans les astuces liées à la télescopie. Souvent on cherche à étudier des sommes du type $\sigma (v_{k+1}-v_k)$, où $v$ est une suite intermédiaire, afin de tirer des informations sur $v$ à partir de la somme, puis de remonter à $u$.

En général ce sont des astuces qui dépendent beaucoup des cas particuliers étudiés sur le moment. Par exemple parfois en écrivant tes fonctions comme intégrales de leurs dérivées (ici en faisant ça par exemple pour le logarithme), il y a des quotients qui apparaissent et ça finit par te donner l'idée de les utiliser.

En tout cas je ne pense pas que ce soit une astuce générale basée sur les quotients. Sinon le problème peut bien évidemment se résoudre de manière différente.

Bonjour,
Pour la 7, dans le cas generale, il n' ya aucun lien entre la nature des deux series $\sum u_n$ et $\sum f(u_n)$
exemple $\sum \frac 1{n^2}$ converge mais $\sum \ln( \frac 1{n^2})$ diverge
si f=|.|, on a seulement dans un sens : si $\sum f(u_n)$ converge alors $\sum u_n$ converge

Pour ta deuxieme question , c'est faux, prendre $f_n=h_n+o(g_n)=(\cos\frac 1n)+n\frac 1n$

Je crois tu mélanges le concept des suites et des series
Pour les suites si $\ln(u_n)\to l$ alors $u_n\to e^l$ c'est la regle de la composée des limites

Ok je comprends ce que tu dis. Cependant dans ce cas précis on utilise la continuité pour justifier les hypothèses de "la règle".
À moins que quelque chose m'échappe.