Calcul d'une intégrale elliptique

Bonjour
Merci de votre attention et pour la référence je vais regarder (:P)... Alors effectivement cela semble un bon changement de variable si on essaye ! Je repars de l'expression de $P(t)$ en fonction de l'angle:

$P(\phi)=(A \cdot \sin(\phi)-x)^2 + (B \cdot \cos(\phi)-y)^2+z^2$

Si on fait le changement de variable $t=\tan(\phi/2)$ on a $\phi=2\arctan(t)$ et donc $\cos(\phi)=\cos(2\arctan(t))=\frac{1-t^2}{t^2+1}$ et $\sin(\phi)=\sin(2\arctan(t))=\frac{2 t}{t^2+1}$ et finalement $P(t)$ s'écrit:

$P(t)=(A \cdot \frac{2 t}{t^2+1}-x)^2 + (B \cdot \frac{1-t^2}{t^2+1}-y)^2+z^2$

Soit si on développe et que on simplifie on peut écrire $P$ sous la forme simple:
$\left\{\begin{array}{l}
a:x^2+y^2+z^2-2yB+B^2\\
b:-4xA\\
c:-2B^2+4A^2+2z^2+2y^2+2x^2\\
d:(B^2+2yB+z^2+y^2+x^2)\\
P(t)=\dfrac{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}{(t^2+1)^2}
\end{array}\right.$
On peut alors sortir le dénominateur de la racine, et l'intégrale s'écrit alors:
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{(1-t^2)dt}{\sqrt{P(t
)}}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(1-t^2)(t^2+1)dt}{\sqrt{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}}$

Je ne sais pas trop comment continuer... Car les trois espèces d'int elliptiques non que des termes en puissance paire de $t$ au dénominateur. et wolfram trouve encore l’équation assez indigeste :-S

Bonjour,

Oui effectivement la dernière expression n'existe pas dans les tables d'expressions des intégrales elliptiques classiques. Ou bien ai-je fait une erreur ?

Peut-être que on peut obtenir quelque chose avec le théorème des résidus.

En utilisant le deuxième type. Il faut étendre la fonction aux nombres complexes. je vais essayer...

D'abord il faut factoriser le polynôme pour trouver les pôles.