Calcul d'une intégrale elliptique
Bonjour
Je souhaite calculer l'intégrale suivante, en fonction des intégrales elliptiques $(K,E)$ : $$
f_{(x,y,z)}= \int_{\phi=0}^{2\pi}\frac{\cos(\phi)}{\sqrt{(A \cdot \sin(\phi)-x)^2+(B \cdot \cos(\phi)-y)^2+z^2}}d\phi
$$ J'ai réussi à montrer que lorsque $B=A$, et en passant en coordonnées cylindriques, l'intégrale peut se mettre sous la forme d'une intégrale elliptique : $$
f_{(r,\theta,z)}= \int_{\phi=0}^{2\pi}\frac{\cos(\phi)}{p\sqrt{1+k^2\cdot \sin(\frac{\theta-\phi}{2}) }}d\phi
$$ avec $\left\{\begin{array}{l} p=\sqrt{(A-r)^2+z^2}\\k=\frac{\sqrt{4Ar}}{p}\end{array}\right.$
L'intégrale donne alors joliment après un changement de variable:
$\displaystyle f_{(r,\theta,z)}=\frac{-2\cos(\theta)}{p}\frac{2(2+k^2)F-4E}{k^2}-$ où $K$ et $E$ sont les intégrales elliptiques complètes du premier et second ordre d'argument $-k^2$.
J'ai aussi réussi à calculer un développement lorsque $B=A+dA$ le résultat est joli mais assez complexe...
La question est alors que faire lorsque $B$ est significativement différent de $A$ ? Avez vous des idées de pistes, comment démarrer ? N'y a-t-il pas moyen d'encadrer l'intégrale, de supprimer la racine ?
Merci de votre aide.
Je souhaite calculer l'intégrale suivante, en fonction des intégrales elliptiques $(K,E)$ : $$
f_{(x,y,z)}= \int_{\phi=0}^{2\pi}\frac{\cos(\phi)}{\sqrt{(A \cdot \sin(\phi)-x)^2+(B \cdot \cos(\phi)-y)^2+z^2}}d\phi
$$ J'ai réussi à montrer que lorsque $B=A$, et en passant en coordonnées cylindriques, l'intégrale peut se mettre sous la forme d'une intégrale elliptique : $$
f_{(r,\theta,z)}= \int_{\phi=0}^{2\pi}\frac{\cos(\phi)}{p\sqrt{1+k^2\cdot \sin(\frac{\theta-\phi}{2}) }}d\phi
$$ avec $\left\{\begin{array}{l} p=\sqrt{(A-r)^2+z^2}\\k=\frac{\sqrt{4Ar}}{p}\end{array}\right.$
L'intégrale donne alors joliment après un changement de variable:
$\displaystyle f_{(r,\theta,z)}=\frac{-2\cos(\theta)}{p}\frac{2(2+k^2)F-4E}{k^2}-$ où $K$ et $E$ sont les intégrales elliptiques complètes du premier et second ordre d'argument $-k^2$.
J'ai aussi réussi à calculer un développement lorsque $B=A+dA$ le résultat est joli mais assez complexe...
La question est alors que faire lorsque $B$ est significativement différent de $A$ ? Avez vous des idées de pistes, comment démarrer ? N'y a-t-il pas moyen d'encadrer l'intégrale, de supprimer la racine ?
Merci de votre aide.
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Réponses
Merci de votre attention et pour la référence je vais regarder (:P)... Alors effectivement cela semble un bon changement de variable si on essaye ! Je repars de l'expression de $P(t)$ en fonction de l'angle:
$P(\phi)=(A \cdot \sin(\phi)-x)^2 + (B \cdot \cos(\phi)-y)^2+z^2$
Si on fait le changement de variable $t=\tan(\phi/2)$ on a $\phi=2\arctan(t)$ et donc $\cos(\phi)=\cos(2\arctan(t))=\frac{1-t^2}{t^2+1}$ et $\sin(\phi)=\sin(2\arctan(t))=\frac{2 t}{t^2+1}$ et finalement $P(t)$ s'écrit:
$P(t)=(A \cdot \frac{2 t}{t^2+1}-x)^2 + (B \cdot \frac{1-t^2}{t^2+1}-y)^2+z^2$
Soit si on développe et que on simplifie on peut écrire $P$ sous la forme simple:
$\left\{\begin{array}{l}
a:x^2+y^2+z^2-2yB+B^2\\
b:-4xA\\
c:-2B^2+4A^2+2z^2+2y^2+2x^2\\
d:(B^2+2yB+z^2+y^2+x^2)\\
P(t)=\dfrac{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}{(t^2+1)^2}
\end{array}\right.$
On peut alors sortir le dénominateur de la racine, et l'intégrale s'écrit alors:
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{(1-t^2)dt}{\sqrt{P(t
)}}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(1-t^2)(t^2+1)dt}{\sqrt{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}}$
Je ne sais pas trop comment continuer... Car les trois espèces d'int elliptiques non que des termes en puissance paire de $t$ au dénominateur. et wolfram trouve encore l’équation assez indigeste :-S
Avant de continuer, il te faut corriger. Le dernier truc écrit n'existe pas.
Oui effectivement la dernière expression n'existe pas dans les tables d'expressions des intégrales elliptiques classiques. Ou bien ai-je fait une erreur ?
Peut-être que on peut obtenir quelque chose avec le théorème des résidus.
En utilisant le deuxième type. Il faut étendre la fonction aux nombres complexes. je vais essayer...
D'abord il faut factoriser le polynôme pour trouver les pôles.
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(1-t^4)dt}{\sqrt{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}}&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}}-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t^4\cdot dt}{\sqrt{a+b \cdot t+c\cdot t^2+b\cdot t^3+d\cdot t^4}}\\
&=I_1-I_2
\end{align*}
Et si on factorise le polynôme par $P(t)=(t-p_1)(t-p_2)(t-p_3)(t-p_4)$ on obtient
$\displaystyle I_1=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{(t-p_1)(t-p_2)(t-p_3)(t-p_4)}}$, qui se calcule ici
$\displaystyle I_2=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t^4\cdot dt}{\sqrt{(t-p_1)(t-p_2)(t-p_3)(t-p_4)}}$
Les intégrales que tu écris n'existent pas.
Relis mon message plus haut. Et corrige. Recalcule le changement de variables. C'est n'est pas $\displaystyle (1-x^2)(1+x^2)$ mais $\displaystyle {1-x^2 \over 1+x^2}.$
Des fois, il ne faut pas s'acharner sur un truc qui n'a pas de solution... tu peux t'amuser un peu, mais ne passe pas trop de temps car tu n'aboutiras très probablement pas à une forme utile ou élégante pour cette intégrale.
Effectivement je n'ai pas trouvé de forme exacte très jolie...et j'ai arrêté de chercher une forme exacte... Mais il me reste une jolie approximation... lorsque B=A+dA.
voila...merci
[img]http:// https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/9a/77/96/9a779611e51de3d61a4002a8a2aa17bf.jpg[/img]
En haut à gauche je suppose que l'intégrale est une intégrale elliptique .
Savez vous dans quelle domaine elle est utilisée .
Comment la calculer ?
Les portions de courbes qui entourent l'engrenage sur le timbre à droite ont pu me faire penser aux intégrales elliptiques , pour calculer la longueur de portions de courbes, ellipses...
Je me souviens des courbes de Gauss en probabilité . Gauss étudia les fonctions elliptiques .
S’il avait été écrite err (u) , au lieu de h (u) , j'aurais peut être fait le rapprochement .