Théorème de Riesz-Fischer.

A 24h du coup d'envoi des oraux d'agreg, je me permets de faire remonter ce vieux fil, car il s'agit d'une preuve souvent proposée, et que j'ai rarement vu présentée de manière correcte.

Comme Neptune l'a dit, il y a une réelle difficulté avec le presque partout, qui est particulièrement flagrante dans la preuve de la complétude de $L^{\infty}$. C'est souvent elle qui pose des problèmes, surtout quand les candidat(e)s ont travaillé la preuve dans Brézis.

Il est tout à fait possible de ne faire la preuve "que" du cas $p<+\infty$, ça n'a rien de déshonorant. Dans la première édition de Garet-Kurtzmann, nous n'avions d'ailleurs pas souhaité étudier le cas $p=\infty$.
Nous l'avons ajouté à la deuxième édition sur demande de nos lecteurs, mais nous pensons toujours que ce cas est un peu moins important.

Pour quelqu'un qui souhaiterait prouver les deux résultats (à la fois fini et infini), je conseille fortement de commencer par présenter la preuve du cas fini.

C'est d'ailleurs une stratégie générale: pour un développement un peu long, il faut se débrouiller pour qu'il ne paraisse pas ridicule si la fin est coupée.