Fonction et série entière

Une autre définition de la fonction exponentielle est: cette fonction est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

Et, on peut définir cette dernière fonction autrement que comme la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Pour tout $x>0$ réel:
$\displaystyle \ln(x)=\int_1^x \dfrac{1}{t}dt$

Totem a écrit:

la série des xn/n ! converge pour tout x de R vers une fonction appelée exp (x)

exp(x) n'est pas une fonction mais un nombre. C'est l'image de $x$ par la fonction Exp.

On peut aussi définir Exp de la sorte:


On définit la suite $u_n(x)= \left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$ pour tout $n$ entier naturel et pour tout réel $x$.
$\exp(x):=\lim u_n(x)$ pour tout $x$ réel.


La difficulté est de vérifier que toutes ces définitions coïncident. C'est à dire qu'on a affaire à la même fonction Exp dans les trois cas.