Le premier zéro de zêta de Riemann.

Ce nombre n'est pas connu exactement, donc il faut passer forcément par des méthodes numériques. Il y a plusieurs méthodes pour traiter le problème (on en trouve beaucoup sur le net assez facilement). Il faut tout d'abord choisir la forme qu'on va utiliser de la fonction Zêta. Souvent on ne prend même pas la fonction Zêta elle-même, mais une autre fonction qui a les mêmes zéros sur la bande critique (fonction Eta de Dirichlet, ou Xi d'Euler ... )

Ensuite, l'une des méthodes utilisées est basée sur l'estimation numérique de l'intégrale du principe de l'argument : https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_de_l'argument
c'est à dire l'estimation (numérique le plus souvent) de l'intégrale de $\frac{f'}{f}$ où $f$ est Zêta ou l'une des autres fonctions ayant les mêmes zéros. Comme cette intégrale donne un entier naturel, il suffit de l'approcher numériquement avec une erreur $<1$ pour connaître le résultat exact.

On se sert de cette méthode pour localiser de mieux en mieux la position du zéro qu'on veut : on part par exemple d'un $u_0 = \frac{1}{2} + 14,1347i$ comme tu as dit. On veut raffiner cette estimation, on prend alors un $r < 10^{-4}$, et on applique le principe de l'argument sur un cercle (ou un carré, peu importe) de diamètre égal à $r$. Il n'y a que deux possibilités alors : l'intégrale nous donne $1$, donc la vraie position du zéro est encore à l'intérieur du domaine d'intégration, ou alors l'intégrale fait zéro et dans ce cas il est en dehors.

On trouve alors une meilleure approximation de ce zéro, qu'on note $u_1$ (par exemple avec plus de chiffres exacts après la virgule), on refait encore le même processus en prenant des contours (cercles ou carrés ... ) centrés en $u_1$, et on réutilise les mêmes arguments et on évalue la même intégrale numériquement sur le nouveau contour pour voir si elle vaut $0$ ou $1$.

A chaque étape le diamètre est plus petit, et on gagne en exactitude.

Je crois que cette méthode était celle utilisée à l'origine par Riemann pour trouver ce premier zéro. Je sais que numériquement il y a des gens qui utilisent aussi cette méthode, mais peut-être y a t-il des méthodes plus rapides.

Tu peux chercher sur internet, il y a un blog américain qui recense les quelques 100 000 premiers zéros de Zêta, et je me souviens qu'il y avait expliqué plusieurs méthodes numériques (et avec ordinateur je pense). Tu peux essayer de le retrouver sur le net, désolé je n'ai pas gardé le lien, mais il est assez facile à retrouver je crois.

bonjour, les sources primaires pour le problème de la détermination numériques des zéros de $\zeta(\frac{1}{2}+it)$ avec $t \in \mathbb{R}$ sont ici:

http://link.springer.com/journal/11511/27/1/page/1

voir les articles consécutifs de Gram et Lindelof (référence de la référence: Landau: "Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen" réédité chez Chelsea.

Sinon, l'idée générale de la recherche des zéros de cette fonction passe historiquement par la fonction $Z(t) = e^{i\vartheta} \zeta(\frac{1}{2}+it)$ qui a le bon goût d'être réelle quand $\vartheta$ est choisi de la façon suivante:

$\vartheta = \vartheta (t) = -\frac{1}{2} \arg( \chi( \frac{1}{2}+it)$ et $\chi(\frac{1}{2}+it) = e^{-2i\vartheta} $

la fonction $\chi$ étant elle-même définie à partir de l'équation fonctionnelle $\zeta(s) \;= \; \zeta(1-s) \times \chi(s) $

soit:

$\zeta(s) \; =\; 2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{1}{2}\pi s) \Gamma(1-s)\zeta(1-s) $ formule que l'on peut transformer à l'aide de la formule des compléments de la fonction $\Gamma$...

Il faut vérifier que $| \chi(\frac{1}{2}+it)| = 1 $.

Muni de tout celà, il reste à étudier les alternances de signe de $Z(t)$, ce qui signifie l'évaluation numérique de cette quantité en fonction de $t$.
(Jusque là, voir Titchmarsh: "The theory of the zeta-function" chez Oxford page 388 et seq.)

Pour le calcul numérique, Edwards dans "Riemann's zeta function" indique l'emploi de la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin pour l'évaluation de $\Gamma (s)$ qu'il appelle malencontreusement $\Pi(s) = \Gamma(s+1) $ (voir page 8 de son bouquin) et aussi de $\zeta(s)$ .

La formule sommatoire d'Euler-Maclaurin est développée dans Caratheodory: "theory of functions" ou bien dans Valiron : "théorie des fonctions" et aussi plus près de nous dans Tenenbaum : "Introduction à la théorie analytique des nombres" chez Belin .

Ce qu'il est possible de faire au minimum, c'est de trouver le signe de $\zeta(\frac{1}{2})$ via l'identité:

$ \displaystyle \sum_{n\geq 1} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^s} \; = \; \bigl(1-2^{1-s} \zeta(s) \bigr)$

puis celui de $Z(0)$ ; Titchmarsh propose ensuite de prouver que $Z(6\pi) >0$ ce qui localise le premier zéro.
Arriver à faire tout cela paraît déjà beaucoup puisque cela contient déjà l'équation fonctionnelle et diverses dérivations de fonctions associées à $\zeta$ qui sont loin d'être simples. Bon courage.

L2M a écrit:

Supposons qu'un jour j'arrive à définir zeta sur tout le plan complexe par une seule et explicite formule (sans aucune équation fonctionnelle), comment calculer ses zéros dans ce cas.

Que signifie explicite?

Neptune a expliqué plus haut, me semble-t-il, comment il est possible de calculer le nombre de zéros de $\zeta$ dans un domaine borné, à bord. Dans une zone où ce calcul donne un entier naturel non nul , on sait qu'il contient un zéro. Et si ce nombre est nul, il n'en contient pas.
Le seule difficulté technique, j'imagine, est que $\zeta$ est méromorphe en $z=1$. On ne peut pas prendre exactement des rectangles dont les côtés verticaux seraient inclus dans les droites d'équation $x=0$ et $x=1$. Mais quand on se rapproche d'un pôle d'une fonction méromorphe, en module la fonction tend vers l'infini donc on peut prendre un "rectangle" dont on aurait grignoté un bout autour du point $z=1$ et limité en hauteur par les droites d'équation $y=R$ et $y=-R$, $R$ un paramètre réel positif.


Sans une bonne connaissance de l'analyse complexe (c'est autrement plus difficile que d'additionner même astucieusement des nombres) il est inutile d'espérer comprendre quelque chose.

L2M a écrit:

Premièrement votre avatar est très moche.

C'est fait exprès. Moi, cette photo elle m'amuse beaucoup.
Si tu vas par-là, c'est aussi moche d'avoir choisi un pseudo qui a pour sigle FDP (Je n'avais pas pensé à ce sens quand je l'ai utilisé, j'avais deux ou trois sens en tête mais pas celui-là).

Je doute qu'on puisse donner un sens précis à l'adjectif explicite dans le sens que tu voudrais lui donner.
C'est assez subjectif.

L2M a écrit:

Que me propose tu comme adjectif conventionnel?

Nous parlons de mathématiques pas de la pluie et du beau temps. On s'en moque (presque) comment on obtient une valeur aussi précise qu'on veut de $f(x)$ à partir de valeurs de plus en précises de $x$. Le fait d'être capable de le faire en un temps raisonnable (moins d'un mois par exemple) à une précision raisonnable ($<10^{-100}$ par exemple) suffit me semble-t-il.

Tu veux créer aussi une hiérarchie dans les nombres réels?

Parmi $\sqrt{2}$ et $G$ (la constante de Catalan) lequel est le plus important? B-)-

L2M a écrit:

un avatar c'est comme une marque. même si c'est moche ça devient de plus en plus beau en fonction de la qualité du produit.

Je ne suis pas un paquet de lessive à vendre.

L2M:

Si tu regardes l'article consacré à la fonction $\zeta$ de Riemann sur Wikipedia, tu trouveras des formules "explicites".

Par ailleurs,

On peut considérer la fonction $ f(t)=\left | \zeta\left(\dfrac{1}{2}+it\right)\right |$ c'est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$