inégalité d'été

max8128 · July 2016

Bonsoir je vous propose un raffinement de mon inégalité précédente : $$

\cos\big(\cos(x)\big)^m\sin\big(\sin(x)\big)^n< \frac {m+1}{n+1}

$$ avec $m<n$ $m$ et $n$ sont des entiers naturels pairs différents de zéro et $x$ appartient aux réels

YvesM · July 2016

Bonjour,

Pourquoi ça ne me prend que $30$ secondes de montrer que c'est faux ?

Par exemple : $m=0, n=1$ donne $\forall x \in \R, \sin(\sin x) < \frac12$ qui est une connerie, non ?

GreginGre · July 2016

Bah non...Comme la fonction sinus est strictement croissante sur $[-\pi/2,\pi/2]$, donc sur $[-1,1]$, on a
$- 1\leq \sin(x)\leq 1 \Rightarrow \sin(\sin(x))\leq\sin(1)<1/2$ pour tout $x\in\R$.

max8128 · July 2016

J'ai oublié de préciser que m et n sont des entiers pairs différents de zéro

GreginGre · July 2016

Je ne sais pas. Je dis juste que l'objection de YvesM n'a pas lieu d'être.

YvesM · July 2016

Bonjour,

@GreginGre, mon ordinateur calcule $\sin(1) = 0.841...$ puis $\sin( \sin (1) ) = 0.745...$ et aussi $\frac12 = 0.500$ et le tiens ?

Pourquoi proposes-tu $\sin(1) < \frac12$ ?

GreginGre · July 2016

Damned! J'avais pas vu que la calculatrice de Windaube calcule en degrés par défaut. Du coup, moi j'avais $\sin(1)=0.017\cdots$ Mea culpa... Du coup, l'inégalité proposée est très fausse.

max8128 · July 2016

fausse sauf si on rajoute mes conditions ....

max8128 · July 2016

Si vous avez d'autres contres-exemples je capitulerai volontier...

max8128 · July 2016

Une preuve numérique que l'inégalité fonctionne ...

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(sin(x))^(y))-3/(y+1)

rémi · July 2016

Sur qui agissent les puissance exactement ?

P. · July 2016

Si $p$ et $q$ sont des entiers positifs tu veux donc montrer que si $0<x<1$
$$G(x)=\log \cos (x^p)+\log \sin(1-x)^{p+q}\leq \log(2p+1)-\log(2p+2q+1).$$ Pas bien beau, mais cela peut peut etre se regler en cherchant le max de $G.$

max8128 · July 2016

Pas bien beau effectivement mais on peut élaguer le cosinus et sa puissance en prenant $x=\pi/2$ le maximum de la fonction générale est alors $\sin(1)^n$ qu'il faut comparer à $((m+1)/(n+1))$

max8128 · July 2016

Il ne reste plus qu'a minimiser le membre de droite en prenant le numérateur le plus petit à savoir m+1=3 et la preuve en découle car on a une inégalité à une variable simple à vérifier....l'inégalité était donc juste .

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(1)^n-(3/(n+1))

Dom · July 2016

Cher @max8128,

La curiosité m'interroge : qu'est-ce qui te fait chercher toutes ces inégalités trigonométriques ?

Cela m'intrigue, rien de plus.

Bien cordialement.

max8128 · July 2016

@Dom:
L'honneur de l'esprit humain évidemment !
Non en réalité ces inéquations m'intéressent car elles sont simple d'accès mais parfois demandent un peu de fil à retordre, et peut-être car je recherche la perle rare... :)o

inégalité d'été

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