Valeur propre.
dans Analyse
Bonjour,
Soit $f$ une fonction $C^\infty$ de $\R^n$ dans lui même tel que $f(0)\neq 0$, montrer qu'alors $f$ admet une valeur propre entière (càd il existe $k$ entier et $x\in \R^n$, $x\neq 0$ tel que $f(x)=k.x$).
Cela marche aussi avec $f$ continue mais alors ce n'est pas la même démonstration.
Bonne journée.
Soit $f$ une fonction $C^\infty$ de $\R^n$ dans lui même tel que $f(0)\neq 0$, montrer qu'alors $f$ admet une valeur propre entière (càd il existe $k$ entier et $x\in \R^n$, $x\neq 0$ tel que $f(x)=k.x$).
Cela marche aussi avec $f$ continue mais alors ce n'est pas la même démonstration.
Bonne journée.
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Réponses
Edit : Désolé, j'ai oublié une hypothèse.
Mais comment procèdes tu pour le cas continue, quelle approximation utilises tu ?
En effet il y a au mieux une approximation pour la norme sup sur tout compact, mais là on est sur $\R^n$..
Pourrais-tu détailler un peu ?
Merci.
Je n'ai pas mis l'énoncé "optimal".
Encore, une fois je n'ai pas mis l'énoncé "optimal", mais une forme faible comparer à la preuve que je crois avoir.
Bonne journée.
Ce qui n'enlève rien à l'exercice. [/small]
Pour le cas continu, $f\Big(B(0,1)\Big)$ est un compact (j'utilise des boules fermées), donc borné, donc peut être inclus dans une boule fermée de type $B(0,N)$ pour un entier $N$ assez grand.
Je considère alors la fonction $g : B(0,1) \to B(0,1)$ définie par $g(x) = \frac{1}{N}fx)$. C'est une fonction bien définie et continue de la boule unité dans elle-même. Par le théorème du point fixe de Brouwer, $g(x)$ admet un point fixe noté $y$. Donc $y$ vérifie $f(y) = N y$ avec $N$ entier.
De plus $y$ est non nul car dans ce cas on aurait $f(0) = 0$. Donc $y$ est bien un "vecteur propre" associé à l'entier $N$.
On peut bien sûr remplacer $N$ par n'importe quel réel $M > 0$ tel que $f\Big(B(0,1)\Big)$ soit inclus dans $B(0,M)$.
Oui c'est simple en connaissant (et en admettant) le point fixe de Brouwer, ce qui n'est pas évident ! ça rend le résultat très puissant dans l'absolu.
Très subjectif de ta part cette remarque: tu maquilles un peu Brouwer, puis tu dis "on a du mal à y penser". Je parie que les habitués à Brouwer y pensent en moins de une seule seconde.
Encore faut-il penser au fait que c'est le théorème de Brouwer qu'il faut utiliser, ce qui selon moi ne va pas de soi ?
Sinon pour le côté : "C'est simple et pourtant on a du mal à y penser", je te renvoie à la factorielle allégée, ou même au problème de géolyse, ou encore au problème indécidable, et en fait à pratiquement tous les énoncés que je poste ici.
Bonne journée.
PS : pour les sceptiques avec l'affirmation "ce n'est pas parce que c'est simple, que c'est facile à trouver", c'est le principe des problèmes NP-complets, où il est facile de vérifier que la solution trouvé est bien solution, mais elle est difficile à trouver, si cette argument ne suffit pas, qu'ils essaient de calculer la factorielle alléger que je propose, par exemple.
Je suppose que la plus part des participants à ce fil connaissent le théorème de Brouwer, et même en sachant que c'est Brouwer qu'il faut utiliser il a fallut une semaine pour que la solution soit trouvé.
Sachant que 7 jours= 1 semaine, et que la solution n'a été donné qu'aujourd'hui (il y a 23 heures), je pense n'avoir rien dit d'incorrect.
Il y a effectivement eu une semaine entre le message de Neptune évoquant le théorème de Brouwer et la preuve détaillée par Neptune. Mais on ne peut certainement pas en conclure qu'il a fallu une semaine pour que quelqu'un trouve la preuve ! Neptune n'a détaillé la preuve que quand tu le lui as demandé. Avant il considérait très très probablement le problème comme plié. En bref, le problème a été plié dès les premiers messages :-).
@ Neptune : as-tu trouvé la solution le moment même où j'ai confirmé que c'est bien Brouwer, ou bien t'a-t-il fallut plus de temps ?
En fait quand tu as confirmé qu'il fallait utiliser Brouwer, j'avais un peu l'idée de la preuve en tête, mais comme ce type de gros résultats peut parfois induire en erreur, je n'étais pas sûr de moi. Mais en gros, j'avais déjà la preuve en tête peu après ta confirmation. En fin de compte quand j'ai rédigé aujourd'hui c'était la même chose que ce que j'avais en tête, la rédaction a dissipé les derniers doutes, mais il n'y a pas eu de changement.
Disons qu'en l'espèce ce n'est pas un exemple, de "ce n'est pas parce que c'est simple, que c'est facile à trouver", mais je ne perds pas espoir de trouver un exemple convaincant, avec par exemple la factorielle allégée où je me montrerais plus avare en indice qu'ici.
Bonne soirée.
@Axone du Choix : je n'ai pas dit qu'il était difficile, j'ai juste dit que "simple" n'est pas équivalent de facile à trouver.
Ensuite pour la factorielle allégée si tu as un lien, ou bien une méthode classique à proposer, je suis preneur.
@CC : la démo de Péa utilise l'hypothèse $f \in C^1$.
Bonne journée.