Il me semble que non parce que si $\phi \in \mathscr S(\mathbb R)$ qui vaut $1$ sur $[-1,1]$, alors il me semble que $\int_{\mathbb R} \phi(x)f(x)dx$ n'existe pas donc $e^{1/x^2}$ ne peut pas représenter une distribution. Il me semble que pour définir une distribution une fonction doit au moins être localement intégrable et ce n'est clairement pas le cas ici ... +
J'ai l'intuition que non, la fonction $\displaystyle x \mapsto e^{\frac{1}{x^2}}$ ne peut pas définir une distribution sur $\displaystyle \R.$
En reprenant la notion de partie finie (et non pas de valeur principale car, ici, la fonction est paire), on se heurte rapidement au fait que, pour tout $k$ entier, $\displaystyle x^k e^{\frac{1}{x^2}} \to \infty$ quand $\displaystyle x \to 0$ de sorte que les tentatives d'extraire la partie divergente échouent.
Comme, pour tout $x$ réel non nul, $\displaystyle e^{\frac{1}{x^2}} = \sum_{k \geq 0} {1 \over k! x^{2k}}$ et que l'on peut définir les distributions associées aux fonctions $\displaystyle x \mapsto {1 \over x^{2k}}$ pour tout $k$ entier à l'aide des parties finies, il ne reste qu'à se demander si l'on peut passer de la somme finie à la série...
$\frac{1}{x^2}$ n'appartient pas vraiment à $\mathcal{D}'(\R)$, la partie finie comme son nom l'indique retranche la singularité, et n'est pas égale à cette fonction. A la limite tu peux essayer de dire que $\frac{1}{x^2}$ pourrait être vue comme la dérivée de la valeur principale $-vp(\frac{1}{x})$, cette dernière représentant un peu plus légitimement la fonction $-\frac{1}{x}$.
Un autre truc est à noter, $e^{\frac{1}{x^2}}$ est une fonction positive, c'est une distribution positive sur $\R^*$, donc d'ordre 0 (c'est une mesure de Radon positive). Si on peut exploiter / généraliser ce résultat, ça voudrait dire qu'une distribution sur $\R$ correspondant à cette fonction serait une mesure de Radon positive, donc en particulier, il existerait $C >0$ telle que pour toute fonction continue sur $[-1,1]$, on a : $<T, f> \leq C ||f||_{\infty}$. Si on veut définir seulement une "partie finie", on imposera de plus que $f(0) = 0$ pour nos fonctions tests. Si on montre qu'une telle constante $C$ ne peut pas existait, ça conclurait la preuve.
Supposons qu'il existe une distribution $T$ sur $\R$ telle que $T_{|\R^*}=e^{1/x^2}$. Je prends le compact $K=[-1,1]$. Il existe une constante $C$ et un entier $k$ tels que pour tout $\varphi\in \mathcal{D}_K$, on ait $|\langle T,\varphi\rangle|\le C\max_{x\in K,\alpha\le k}|\varphi^{(\alpha)}(x)|$.
Je prends maintenant une fonction-test $\varphi$ à support dans $[\frac14,\frac34]$, positive et supérieure à $1$ sur $[\frac13,\frac23]$, et je considère la suite $\varphi_n(x)=\varphi(nx)$, qui est telle que $\varphi_n\in\mathcal{D}_K$.
D'une part, on a $\max_{x\in K,\alpha\le k}|\varphi_n^{(\alpha)}(x)|\le n^k \max_{x\in K,\alpha\le k}|\varphi^{(\alpha)}(x)|$. D'autre part
$$|\langle T,\varphi_n\rangle|=\int_{1/4n}^{3/4n}\varphi(nx)e^{1/x^2}\,dx=\frac1n\int_{1/4}^{3/4}\varphi(x)e^{n^2/x^2}\,dx\ge\frac1{3n}e^{4n^2/9}.$$
@ remarque, j'aurai une précision à te demander. Si on suppose qu'il existe une telle distribution $T$ de restriction à $\R^*$ donnée par $e^{1/x^2}$, comme $T$ est positive sur $\R^*$ on en déduirait que $T$ est positive sur $\R$, donc $T$ est une mesure de Radon positive. Donc il suffirait dans ton raisonnement précédent de prendre le cas $\alpha = 0$. Je me trompe ?
[Johann Radon (1887-1956) prend toujours une majuscule. AD]
@ Neptune : si tu prends la partie finie de $\frac1{|x|}$, c'est une distribution qui est positive sur $\R^*$, donc d'ordre $0$, mais qui n'est pas d'ordre $0$ sur $\R$.
Réponses
J'ai l'intuition que non, la fonction $\displaystyle x \mapsto e^{\frac{1}{x^2}}$ ne peut pas définir une distribution sur $\displaystyle \R.$
En reprenant la notion de partie finie (et non pas de valeur principale car, ici, la fonction est paire), on se heurte rapidement au fait que, pour tout $k$ entier, $\displaystyle x^k e^{\frac{1}{x^2}} \to \infty$ quand $\displaystyle x \to 0$ de sorte que les tentatives d'extraire la partie divergente échouent.
Comme, pour tout $x$ réel non nul, $\displaystyle e^{\frac{1}{x^2}} = \sum_{k \geq 0} {1 \over k! x^{2k}}$ et que l'on peut définir les distributions associées aux fonctions $\displaystyle x \mapsto {1 \over x^{2k}}$ pour tout $k$ entier à l'aide des parties finies, il ne reste qu'à se demander si l'on peut passer de la somme finie à la série...
Merci.
Je prends maintenant une fonction-test $\varphi$ à support dans $[\frac14,\frac34]$, positive et supérieure à $1$ sur $[\frac13,\frac23]$, et je considère la suite $\varphi_n(x)=\varphi(nx)$, qui est telle que $\varphi_n\in\mathcal{D}_K$.
D'une part, on a $\max_{x\in K,\alpha\le k}|\varphi_n^{(\alpha)}(x)|\le n^k \max_{x\in K,\alpha\le k}|\varphi^{(\alpha)}(x)|$. D'autre part
$$|\langle T,\varphi_n\rangle|=\int_{1/4n}^{3/4n}\varphi(nx)e^{1/x^2}\,dx=\frac1n\int_{1/4}^{3/4}\varphi(x)e^{n^2/x^2}\,dx\ge\frac1{3n}e^{4n^2/9}.$$
Donc ce n'est pas possible.
[Johann Radon (1887-1956) prend toujours une majuscule. AD]