DL exponentielle

Un lien : http://www.h-k.fr/publications/data/adc.ps__annexes.maths.pdf

Un autre : (message suivant, le mien est mal passé)

On a $e^x = 1 + x + \text{o}(x)$ quand $\underset{x\in\R}{x\longrightarrow 0\;}$.
Il faut faire attention !
L'assertion suivante est VRAI : $\text{o}(x^2) = \text{o}(x)$ quand $\underset{x\in\R}{x\longrightarrow 0}$
L'assertion suivante est FAUSSE : $\text{o}(x) = \text{o}(x^2)$ quand $\underset{x\in\R}{x\longrightarrow 0}$

Dans le message de Fin de partie il faut remplacer $F'(0)=1$ par $F'(0)=0$.
Et il faut remplacer $Q(x)=1$ par $Q(x)=0$.
Donc $Q(x)\to 0$ et par suite $x\,Q(x)=\text{o}(x)$.

Le message a été modifié.

De mémoire, la question était "est-ce que ceci est vrai ?".

Je ne me souviens plus si le "quel que soit $x$ était présent à l'origine".

@ Magox, tout dépend de ta définition de la fonction exponentielle ! Il faut bien partir d'une définition avant de prouver qu'elle est vérifie telle ou telle propriété.

Je pars par exemple de la définition suivante : l'exponentielle est l'unique solution de l'équation $y' = y$ avec condition initiale $y(0) = 1$.

Le théorème de Cauchy Lipschitz nous assure l'unicité de ce système de Cauchy, et donc le fait que ça définit bien une unique fonction.

Maintenant, si je cherche une solution à ce système qui est sous forme de série, je me rend compte que la fonction $z(x) = \sum_{n= 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ est aussi solution du système. Mais donc par unicité $ y = z$.

En conclusion, j'ai donc montré que $exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, ce qui est bien plus fort que le développement limité, ce dernier s'en déduit directement.

Maintenant si tu estimes que ma définition de l'exponentielle (comme solution de l'équation différentielle) ne te convient pas, pas de soucis, donne moi la tienne, et on démontre qu'avec ta définition aussi l'exponentielle est forcément solution du système de Cauchy, et donc est égale à la série entière, et c'est fini.

A la limite, si "bonjour" est un effort, c'est bien une preuve de considération, dans le cas, justement où ce n'est pas sincère.
La politesse, de toute manière, c'est parfois (souvent ?) une forme d'hypochrisie.
Les formules de la bien-pensance pourrait déclarer cela en parlant "d'hypocrisie positive" ;-)

@ remarque, théorème du point fixe, ça suffit pour Cauchy- Lipschitz local ^^. Mais c'est vrai que souvent pour globaliser on compare avec l'exponentielle (changement de norme dans le cas globalement Lipschitzien).

De toute façon, sans même avoir l'unicité, si on montre la formule de Taylor (récurrence + intégrations par parties), et si on sait que la dérivée de l'exponentielle est elle-même, alors directement on a le développement limité.

Garantie sans additif exponentiel ^^.