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Nature d'une "série de restes"

Envoyé par totem 
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Dans un même ordre d'idée, il s'est posé précédemment dans ce fil la question du développement limité de $\displaystyle \frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+a)}$quand $n\rightarrow +\infty $, avec $a>0$.
Ici aussi, le développement limité classique est le plus efficace, car il est automatique : \begin{align*}
\frac{1}{\ln (n+a)}&=\frac{1}{\ln n+\ln (1+\frac{a}{n})} =\frac{1}{\ln n+\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n})}\\
&=\frac{1}{\ln n}\cdot \frac{1}{1+\frac{a}{n\ln n}+o(\frac{1}{n\ln n})} \\
&=\frac{1}{\ln n}\Big(1-\frac{a}{n\ln n}+o(\frac{1}{n\ln n})\Big) \\
&=\frac{1}{\ln n}-\frac{a}{n(\ln n)^{2}}+o\big(\frac{1}{n(\ln n)^{2}}\big),
\end{align*} d'où immédiatement : $\displaystyle \frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln (n+a)}=\frac{a}{n(\ln n)^{2}}+o\big(\frac{1}{n(\ln n)^{2}}\big)$.
Si besoin était on pourrait le pousser plus loin avec la même automaticité.
Bonne nuit.
F. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
L'article de Johnsonbaugh, Summing an alternating series, cité par noix de totos il y a huit jours, semble très intéressant. Si quelqu'un pouvait et voulait bien nous le fournir, ce serait une bonne chose pour nous.

Dans un message de la même époque, totem se demande s'il s'agit d'un "article de recherche". En fait cet article est paru dans l'American Mathematical Monthly qui n'est pas une revue de recherche mais pourrait-on dire une revue de culture mathématique généraliste dont on peut conseiller la lecture à tout amateur de mathématiques. Dommage qu'il n'y ait pas la même chose en français...

La formule d'Euler-MacLaurin se trouve dans quelques livres mais l'originalité de cet article c'est d'en faire l'application à des séries alternées.

Bonne journée.
F. Ch..
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Bonjour Chaurien ,

Tu mets dans Google Johnsonbaugh, Summing an alternating series pdf

Il me semble qu il est là

[claroline.emate.ucr.ac.cr]
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Pour répondre à Chaurien et comme je n'arrive pas à ouvrir le lien d'Etanche, voici l'article en question.

Les articles du Monthly sont référencés à ZentralBlatt (voir par exemple [zbmath.org]) et certains peuvent donc être considérés comme des articles de recherche, bien qu'il ne s'agisse pas toujours de travaux originaux.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Summing an alternating series (Johnsonbaugh, 1979).pdf (1.04 MB)
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@ noix de totos

Grand merci pour cet article, cela m'évite une visite fatigante à la bibliothèque de Jussieu, laquelle n'est peut-être pas même ouverte en ce cœur de l'été.

Quand j'écris que l'American Mathematical Monthly n'est pas une revue de recherche, ce n'est pas pour médire. Au contraire, j'aime bien cette revue, qui offre une bonne circulation de l'information mathématique au-delà des spécialisations. J'y ai été abonné naguère, j'ai arrêté pour des raisons d'encombrement et de financement, mais je la regarde toujours avec intérêt. J'y ai beaucoup appris, j'y ai publié à cinq reprises des énoncés dans la rubrique des problèmes.

Cette revue est publiée par la Mathematical Association of America qui n'a pas d'équivalent en France, malheureusement. Cette association édite aussi deux revues de niveau moindre mais non de moindre intérêt : Mathematics Magazine et The College Mathematics Journal, et aussi des livres.

Bonne journée.
F. Ch.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Chaurien écrivait:
------------------------------------------ j'y ai publié
> à cinq reprises des énoncés dans la rubrique
> des problèmes.
> Bonne journée.
> F. Ch.

Bonjour Chaurien ,

Peux-tu poster les cinq problèmes ? Je suis intéressé.

Merci
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Chaurien écrivait:
-------------------------------------------------------
> Poursuivons, à propos de cette série de terme
> général $ \displaystyle
> u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{3n+(-1)^{n}}$ ; tout le
> monde voit qu'elle satisfait au CSSA,

Pardon mais ne faut-il pas que |un| soit monotone pour appliquer le CSSA?

>
> On a vu que quand $n\rightarrow +\infty $ : $
> \displaystyle \overset{+\infty
> }{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{(-1)^{k}}{k}\sim
> \frac{(-1)^{n+1}}{2n}$

Comment cela se démontre-t-il svp ? Merci !
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@Chaurien : Merci pour les infos. L'un des intérêts de cette revue, est selon moi le grand choix de sujets traités. J'aime aussi la typo.

Par ailleurs, être référencé à ZentralBlatt ne signifie pas nécessairement que le journal soit axé sur la recherche (par exemple, le journal Quadrature, que tout le monde connaît bien, est désormais référencé à ZentralBlatt, et ce grâce au gros travail effectué par son rédacteur-en-chef actuel Jean-Paul Truc, mais n'est pas considéré comme un journal de recherche proprement dit), mais c'est toutefois le signe d'un réel sérieux sur le plan mathématique.

Enfin, je crois qu'Éric est, lui aussi, un fervent abonné de l'AMM (à confirmer ou infirmer par lui, s'il nous lit).



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par noix de totos.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@ etanche

Tu es bien aimable de faire cas de mes énoncés publiés par l'AMM, mais ils ne sont pas plus intéressants que des milliers d'autres de la rubrique des problèmes de ce périodique.

Voici les références :
- Problem E 3008, AMM 1983, Nr 7 ;
- Problem E 3098, AMM June-July 1985, p. 428 ;
- Problem 10715, AMM February 1999, p. 166 ;
- Problem 11345, AMM 2008, 166, solution october 2009 p. 753 ;
- Problem 11758, AMM May 2011, p. 464.

Références pas très homogènes, mes archives ne sont pas très bien tenues.
Par coquetterie j'avais omis de préciser que ces cinq contributions s'échelonnent sur trente ans mais là morbleu ! je suis fait.

Bien cordialement,
F. Ch.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@ totem

$\bullet $ Si $\displaystyle u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{3n+(-1)^{n}}$ alors $ \displaystyle\left| u_{n}\right| =\frac{1}{3n+(-1)^{n}}$.
Il n'est pas trop difficile de prouver que cette suite $ \displaystyle\left| u_{n}\right| $ est décroissante et tend vers $0$. J'ai mis le facteur $3$ pour ça.

$\bullet $ Pourquoi $ \displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}\frac{(-1)^{k}}{k}\sim \frac{(-1)^{n+1}}{2n}$ ?
Ma foi il y a tout ce qu'il faut dans les messages de ce fil, notamment les miens, pour répondre à cette question.
Regarde ça et si ça ne vient pas, redemande.

Bonne soirée.
F. Ch.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
OK merci.

Une dernière pour la route : un= (sin n)/n...je me demande si c'est une série alternée ? je ne crois pas.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par totem.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@ totem

Je pense qu'on désigne par "série alternée" une série dont le terme général est de la forme $u_{n}=(-1)^{n}y_{n}$ ou $u_{n}=(-1)^{n+1}y_{n}$, où $y_n$ est une suite réelle à termes positifs, et $u_n=\frac{\sin n}{n}$ n'est pas de ce type.

Néanmoins ta question est intéressante, car le Critère Spécial pour les Séries Alternées se généralise de la façon suivante.
...................................................................................................................................................................................................
Soit une suite réelle $y_n$ décroissante de limite nulle et soit $z_n$ une suite complexe dont la somme est bornée, ce qui signifie qu'il existe un réel $A$ tel que, pour tout $n \in \mathbb N$, $\displaystyle \left| \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}z_{k}\right| \leq A$. Alors la série de terme général $u_n=y_n z_n$ est convergente.
...................................................................................................................................................................................................

La série $u_n=\frac{\sin n}{n}$ est de ce type. On peut même avoir sa somme, avec les séries de Fourier, je ne sais pas faire autrement.

Bonne soirée.
F. Ch
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
On peut calculer la somme de la série de terme général $u_n=\dfrac{\sin(n\theta)}n$ sans utiliser les séries de Fourier en faisant intervenir une somme partielle de série géométrique.
Pour $\theta\in]0,\pi[$: $S_N=\displaystyle\sum_{n=1}^N\dfrac{\sin(n\theta)}n=\int_0^1\Im \left(e^{i\theta}\frac{1-t^Ne^{iN\theta}}{1-te^{i\theta}}\right)dt=I-R_N$
avec $|R_N|\leq\displaystyle\int_0^1\left|\dfrac{t^Ne^{iN\theta}}{(e^{-i\theta}-t)}\right|dt\leq \int_0^1\dfrac{t^N}{\sin(\theta)}dt$ qui tend vers 0 quand $N$ tend vers $+\infty$
et $I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin(\theta)}{(t-\cos(\theta))^2+\sin^2\theta}dt=\dfrac{\pi-\theta}2$ avec un peu de trigonométrie.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Merci.
Comment prouver que la somme des sinus est bornée ? Juste parce que sinus est dans [-1;1] ?
Et existe-t-il des sommes partielles non bornées ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@totem
C'est la partie imaginaire de la somme partielle d'une série géométrique.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Merci . Mais ça ne répond pas à ma première question...
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
$\displaystyle\sum_{n=1}^N\sin(n\theta)=\Im\left(\sum_{n=1}^Ne^{in\theta}\right)=\Im\left(e^{i\theta}\frac{1-e^{iN\theta}}{1-e^{i\theta}}\right)$ donc $|\displaystyle\sum_{n=1}^N\sin(n\theta)|\leq \dfrac2{|1-e^{i\theta}|}$ pour $e^{i\theta}\neq1$.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Citation
totem
Existe-t-il des sommes partielles non bornées ?

Tu connais certainement les nombres harmoniques
$$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \geqslant \log N.$$
Ces sommes partielles ne sont donc pas majorées. Et pourtant, les sommants $\frac{1}{n}$ sont tous dans l'intervalle $\left ] 0,1 \right]$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par noix de totos.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
On peut toujours trouver un majorant si la somme est partielle...comme par exemple la somme des 1/ ln(n) de 2 à N majore la somme des 1/n de 2 à N smiling smiley non ?

Oserais-je vous demander si la somme des sin (n ) converge alors là...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par totem.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
avatar
$\sin n$ ne tend pas vers zéro.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
En effet .
Mais son caractère "pseudo-alterné" ( je manque de mots ) m'interpelle...
Je ne sais pourquoi je pense à l'intégrale de Fresnel qui est convergente... Pourtant sin (x2) ne tend pas vers 0 !
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
avatar
On n'est pas aux mêmes échelles: l'équivalent du $\sin n$, ce serait par exemple $\int_n^{n+1}\sin(x^2) \ dx$.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
D'ailleurs je pensais que pour qu' une pour une intégrale converge, la fonction à intégrer de l'intégrande tendait nécessairement ver 0, par analogie avec "pour qu'une série converge, nécessairement son terme général tend vers 0"...en fait il n'en est rien !
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Lorsque l'on dit "majorant", cela signifie un nombre ne dépendant pas de la variable considérée. Ainsi, s'il est vrai que, pour $N \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$
$$\sum_{n=2}^N \frac{1}{n} \leqslant \sum_{n=2}^N \frac{1}{\log n} $$
cela ne signifie aucunement que la seconde somme soit "un majorant" de la première.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par noix de totos.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Merci noix de totos en effet je me suis embourbé. Mes excuses à Chaurien.
Dur dur...d'être bon en maths !

@alea: je n'avais pas pensé à l' "échelle"...
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Je n'ai pas réagi comme j'aurais du : encore un théorème extraordinaire !

Mais quelle est cette mine ?smiling smiley


Chaurien écrivait:
-------------------------------------------------------
> Soit une suite réelle $y_n$ décroissante de limite nulle et soit $z_n$ une suite complexe dont la somme est bornée,
> ce qui signifie qu'il existe un réel $A$ tel que, pour tout $n \in \mathbb N$, $\displaystyle \bigg| \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}z_{k}\bigg| \leq A$.
> Alors la série de terme général $u_n=y_n z_n$ est convergente.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
@ totem
Je ne vois pas de quoi tu devrais t'excuser. Tu réfléchis, tu cherches, tu progresses. Tout va bien.

Le théorème que j'ai cité en généralisation du CSSA n'a rien d'extraordinaire. Il se démontre très simplement au moyen de la Transformation d'Abel, qu'on appelle aussi Sommation par Parties, car c'est l'analogue discret de l'Intégration par Parties :
............................................................................................................................................................................
Si $x_n$ et $y_n$ sont deux suites, réelles ou complexes, alors : $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}(x_{k}-x_{k-1})y_{k}+\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}x_{k-1}(y_{k}-y_{k-1})=x_{n}y_{n}-x_{0}y_{0}$.
............................................................................................................................................................................
Proposition évidente, mais qui a beaucoup d'utilisations.

Tout ceci est tès simple. Réservons notre enthousiasme pour les Grands Théorèmes profonds qui sont des pierres d'angle de la théorie mathématique : la loi de réciprocité quadratique, de Legendre-Gauss, le théorème de Cayley-Hamilton, le théorème de D'Alembert-Gauss, etc.

Bonne journée, hélas maussade en IDF.
F. Ch.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
Ce n'est pas parce que c'est simple que ce n'est pas puissant...et beau !
D'ailleurs le fameux lemme que tu m'as fait découvrir la semaine dernière vient d'une transformation d'Abel, c'est dire...
Quant aux théorèmes profonds, un certain nombre me sont encore inaccessibles,alors...on verra plus tard !

La loi de réciprocité quadratique cela ne me dit absolument rien...en tout cas ça a l'air assez compliqué sur Wikipédia.
Le théorème de Legendre-Gauss c'est le théorème des nombres premiers ?

Les 2 autres me rappellent des souvenirs de prépa...



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par totem.
Re: Nature d'une "série de restes"
il y a deux années
C'était le lemme sur la sommation des restes et la CNS de convergence.
J'ai essayé de le démontrer en prenant avec tes notations xn= n et yn = Rn , j'ai presque réussi mais pas tout à fait...

x0y0= 0
xnyn tend vers 0 (puisque la série des nRn converge)

(xk-xk-1)*yk= Rk
(yk-yk-1))*xk-1= -uk*(k-1)

Mais après j'ai un bug, dans l'expression que tu donnes sur la transformation d'Abel, ce ne serait pas plutôt
(yk-yk-1))*xk au lieu de (yk-yk-1))*xk-1 ?
Ou bien alors on somme jusqu'à n-1 et non n ...?


Merci.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par totem.
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