Nature d'une "série de restes"

Bonjour Chaurien ,

Tu mets dans Google Johnsonbaugh, Summing an alternating series pdf

Il me semble qu il est là

http://claroline.emate.ucr.ac.cr/claroline/claroline/backends/download.php?url=L2NhbGFicmVzaS5wZGY=&cidReset=true&cidReq=MA0250

@ noix de totos

Grand merci pour cet article, cela m'évite une visite fatigante à la bibliothèque de Jussieu, laquelle n'est peut-être pas même ouverte en ce cœur de l'été.

Quand j'écris que l'American Mathematical Monthly n'est pas une revue de recherche, ce n'est pas pour médire. Au contraire, j'aime bien cette revue, qui offre une bonne circulation de l'information mathématique au-delà des spécialisations. J'y ai été abonné naguère, j'ai arrêté pour des raisons d'encombrement et de financement, mais je la regarde toujours avec intérêt. J'y ai beaucoup appris, j'y ai publié à cinq reprises des énoncés dans la rubrique des problèmes.

Cette revue est publiée par la Mathematical Association of America qui n'a pas d'équivalent en France, malheureusement. Cette association édite aussi deux revues de niveau moindre mais non de moindre intérêt : Mathematics Magazine et The College Mathematics Journal, et aussi des livres.

Bonne journée.
F. Ch.

@ etanche

Tu es bien aimable de faire cas de mes énoncés publiés par l'AMM, mais ils ne sont pas plus intéressants que des milliers d'autres de la rubrique des problèmes de ce périodique.

Voici les références :
- Problem E 3008, AMM 1983, Nr 7 ;
- Problem E 3098, AMM June-July 1985, p. 428 ;
- Problem 10715, AMM February 1999, p. 166 ;
- Problem 11345, AMM 2008, 166, solution october 2009 p. 753 ;
- Problem 11758, AMM May 2011, p. 464.

Références pas très homogènes, mes archives ne sont pas très bien tenues.
Par coquetterie j'avais omis de préciser que ces cinq contributions s'échelonnent sur trente ans mais là morbleu ! je suis fait.

Bien cordialement,
F. Ch.

On peut calculer la somme de la série de terme général $u_n=\dfrac{\sin(n\theta)}n$ sans utiliser les séries de Fourier en faisant intervenir une somme partielle de série géométrique.
Pour $\theta\in]0,\pi[$: $S_N=\displaystyle\sum_{n=1}^N\dfrac{\sin(n\theta)}n=\int_0^1\Im \left(e^{i\theta}\frac{1-t^Ne^{iN\theta}}{1-te^{i\theta}}\right)dt=I-R_N$
avec $|R_N|\leq\displaystyle\int_0^1\left|\dfrac{t^Ne^{iN\theta}}{(e^{-i\theta}-t)}\right|dt\leq \int_0^1\dfrac{t^N}{\sin(\theta)}dt$ qui tend vers 0 quand $N$ tend vers $+\infty$
et $I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\sin(\theta)}{(t-\cos(\theta))^2+\sin^2\theta}dt=\dfrac{\pi-\theta}2$ avec un peu de trigonométrie.

@totem
C'est la partie imaginaire de la somme partielle d'une série géométrique.

$\displaystyle\sum_{n=1}^N\sin(n\theta)=\Im\left(\sum_{n=1}^Ne^{in\theta}\right)=\Im\left(e^{i\theta}\frac{1-e^{iN\theta}}{1-e^{i\theta}}\right)$ donc $|\displaystyle\sum_{n=1}^N\sin(n\theta)|\leq \dfrac2{|1-e^{i\theta}|}$ pour $e^{i\theta}\neq1$.

@ totem
Je ne vois pas de quoi tu devrais t'excuser. Tu réfléchis, tu cherches, tu progresses. Tout va bien.

Le théorème que j'ai cité en généralisation du CSSA n'a rien d'extraordinaire. Il se démontre très simplement au moyen de la Transformation d'Abel, qu'on appelle aussi Sommation par Parties, car c'est l'analogue discret de l'Intégration par Parties :
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Si $x_n$ et $y_n$ sont deux suites, réelles ou complexes, alors : $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}(x_{k}-x_{k-1})y_{k}+\overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}x_{k-1}(y_{k}-y_{k-1})=x_{n}y_{n}-x_{0}y_{0}$.
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Proposition évidente, mais qui a beaucoup d'utilisations.

Tout ceci est tès simple. Réservons notre enthousiasme pour les Grands Théorèmes profonds qui sont des pierres d'angle de la théorie mathématique : la loi de réciprocité quadratique, de Legendre-Gauss, le théorème de Cayley-Hamilton, le théorème de D'Alembert-Gauss, etc.

Bonne journée, hélas maussade en IDF.
F. Ch.