Constante d'Apéry

Tu peux ajouter celle-ci:

$\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} x^3\ln(\sin x)dx=\dfrac{9}{64}\pi^2\zeta(3)-\dfrac{93}{128}\zeta(5)-\dfrac{\pi^4}{64}\ln 2$

On peut en déduire aisément $\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} x^3\ln(\cos x)dx$

Tu devrais regarder du côté des périodes de Zagier et Knontsevich, ainsi que leurs degrés.

Celle-là, ce n'est pas Wolfram Alpha qui me l'a donné,

$\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} x^{11}\ln(\sin x)dx=-\dfrac{1277181675}{65536}\zeta(13)+\dfrac{159511275}{32768}\pi^2\zeta(11)-\dfrac{13253625}{32768}\pi^4\zeta(9)+\dfrac{218295}{16384}\pi^6\zeta(7)-\\\dfrac{7425}{32768}\pi^8\zeta(5)+\dfrac{33}{16384}\pi^{10}\zeta(3)-\dfrac{1}{49152}\pi^{12}\ln 2$

Lindep rulez !!


PS:

Satan:
Concrètement cela donne quoi?

Article

Satan a écrit:

On a des équations

Lesquelles, concrètement ? B-)-

J'aimerai avoir concrètement une relation de récurrence qui permet de relier les $I_n$

Où $I_{n}=\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}}t^n\ln(\sin x)dx$

PS:
Dans l'article mentionné par Breyer, que je remercie pour ce lien, il y a une formule qui donne $I_{2n+1}$.

La formule est la suivante,

$\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} x^{2l-1}\ln(\sin x)dx=-\dfrac{\pi^{2l}}{2^{2l+1}l}\ln2+\dfrac{(2l-1)!}{2^{2l}}\sum_{k=1}^{l-1}\dfrac{(-1)^{k-1}\pi^{2(l-k)}}{(2(l-k))!}\left(1-\dfrac{1}{2^{2k}}\right) \zeta(2k+1)+(-1)^{l-1}(2l-1)!\dfrac{2^{2l+1}-1}{2^{4l}}\zeta(2l+1)$

PS:

En fait, il faut que je change de lunettes, il y a aussi une formule pour le cas $n$ pair.

Quel est le problème?

Je me suis contenté de recopier cette formule. Je n'ai pas vérifié si elle est pertinente.
(ce serait cocasse si elle ne l'était pas)

Bonjour Satan.

par convention, si n>p, alors $\sum\limits_{i=n}^p f(i)=0$.

Cordialement.

On peut écrire des formules valables pour $n$ pair et $n$ impair.
Curieusement les formules pour cos et sin sont presque les mêmes.
J'ai inclus le $\ln2$ dans l'intégrale.

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^n\ln(2\sin t)dt=\frac{n!}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{\left\lfloor (n+1)/2\right\rfloor}\frac{\pi^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}\zeta(2k+1)a(n,k)$ avec $a(n,k)=(-1)^{k-1}\left(1-\dfrac1{4^k}+\delta_{n+1,2k}\right)$.

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^n\ln(2\cos t)dt=\frac{n!}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{\left\lfloor (n+1)/2\right\rfloor}\frac{\pi^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}\zeta(2k+1)b(n,k)$ avec $b(n,k)=(-1)^k\left(1+\left(1-\dfrac1{4^k}\right)\delta_{n+1,2k}\right)$.

$\delta_{i,j}$ vaut 1 si $i=j$, 0 sinon.

On peut démontrer ces formules en restant au niveau bac+1 à partir de l'égalité:
pour $t\in]0,\frac{\pi}2]$, $\displaystyle\sum_{k=1}^N\frac{\cos(2kt)}k=-\ln(2\sin t)+r_N(t)$ avec $|r_N(t)|\leq\dfrac1N$ si $t\geq\frac{\pi}4$ et $|r_N(t)|\leq\dfrac1{N\sin(2t)}$ si $t\in]0,\frac{\pi}4]$ .

En ajoutant les deux égalités on obtient une autre formule encore plus concise:
$\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{t^n}{n!}\ln(2\sin t)dt=\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor}\left(-\frac14\right)^k\frac{\pi^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}\zeta(2k+1)$.

On en déduit pour $|x|<2$:
$\displaystyle\int_0^{\pi}e^{xt}\ln(2\sin t)dt=(e^{\pi x}-1)\sum_{k=1}^{+\infty}\left(-\frac14\right)^k\zeta(2k+1)x^{2k-1}$.

@Breyer:
Il manque un signe - devant ta formule.
J'obtiens une formule analogue: $\displaystyle\int_{0}^{\pi}e^{xt}\log(2\sin t)dt=-\dfrac{e^{\pi x}-1}x(\gamma+\Re(\psi (i\frac{x}{2})))$ mais je ne sais pas simplifier la partie réelle de $\psi(Ix)$.

@jandri:
Merci. C'est la même formule une fois le signe corrigé (heureusement!) puisque pour $a$ réel non nul $$
\Im\left(\psi(ia)\right)=\frac{1}{2a}+\frac{\pi}{2}\coth\left(\pi a\right)
$$ donc on peut l'écrire $$
\int_{0}^{\pi}e^{xt}\log(2\sin t)dt=\frac{1-e^{\pi x}}{x}\left(\gamma+\psi\left(i\frac{x}{2}\right)-i\left(\frac{1}{x}+\frac{\pi}{2}\coth\left(\pi\frac{x}{2}\right)\right)\right)
$$ On peut donc avoir $\int_{0}^{\pi}\cos(xt)\log(2\sin t)dt$ et $\int_{0}^{\pi}\sin(xt)\log(2\sin t)dt$ avec des formules sans $i$.